Les méthodes précédentes permettent d'intégrer

une fonction rationnelle f[x^ ^x4-a, yjx -\- b) d!r, qui contient des radicaux du deuxième degré portant sur deux binômes différents du premier degré. En eflet, posons

d'où

ziz z' — a, ^x -^ b = ^z* — û -H ^, dx = ^zdz.

Par suite, /(«, yjx-^a. ^/x-h b)dx devient une certaine fonction F (z, yjz* — a -H b)dz^ qu'il est possible d'intégrer d'après les méthodes exposées dans cette Leçon.

imtégratlon des différentielles binômes. cas

d'intégrabilité.

3o2. On appelle différentielles binômes celles qui sont

de la forme

x"(a -4- bx^)Pdx.

On ne diminue pas la généralité de cette formule en supposant que m et n soient des nombres entiers; si

l'on avait, par exemple, x*(a4-6x'J d!r, on ferait

VllfOT-WEUVlkME LEÇOlf. 349

ar= z", d'où dx = 6z*dzy et la question serait ramenée à intégrer 6z' (a -h bz^ydz^ différentielle binôme dans laquelle les exposants de z^ hors de la parenthèse et dans la parenthèse, sont des nombres entiers.

On peut de plus supposer n positif, car si l'on veut intégrer x^ [a^bx^^Y dx^ il suflSt de faire jr = -pour

ramener cette intégration à celle de — ^~"'"' (a -+- bz"Ydzj ou l'exposant de la variable, dans la parenthèse, est positif.

Quant à p, on doit le supposer fractionnaire. En effet, si p était un nombre entier positif, on aurait, en développant (a -h bx^Yy un polynôme entier, et si p était entier et négatif, on aurait une fraction rationnelle; dans ces deux cas, Tintégrale s'obtiendrait par les procédés qui ont été exposés dans les précédentes Leçons.

353. Pour trouver d'autres cas où la différentielle jc" (a H- bx^Y^'^ puisse être intégrée, posons

a ■+• bx^ = «, d'où

La différentielle devient alors

et l'intégration pourra se faire si

(i) ■ = un nombre entier.

En effet, si p est égal à la fraction -^ en faisant z= f

on sera ramené au cas d'une fonction rationnelle. L'intégration sera donc possible*

35o COURS d'a-naltse.

354. On trouve un autre caractère d'intégrabilité, en écrivant la dilTérentielle binôme sous celte forme :

jf^'*P [aar-^ -{- b)P dx.

La condition qui vient d'être trouvée devient pour cette

g, , m -h np -^ i

formule : > ou

(2) h P = un nombre entier,

condition qui pourra être remplie, quand la première ne le sera pas.

Par exemple, pour. la difTérentielle x* (a H- bx*)*dxy on a