hi 5 4-ti . ï
et la deuxième condition d'intégrabilité se trouve seule remplie.
KÉDUCTIOir DE L^EXPOSÀNT DE X BOUS DE LA PÀEEUTHÈSB.
355. Comme il n'est pas possible, en général, d^intégrer la différentielle binôme x* (a + bx^y dxy il faut la ramener à d'autres intégrales plus simples; on y parvient au moyen de l'intégration par parties* On a
/ ar" (a H- bjc^Y dx =1 l «*•-*•*•• (a -+• bjc^)P j:""' dx = j udv^ en posant
nb(p-i-i) ' et, par suite,
1 , / x^'^(a'^bx^)P^'dx.
jj»— W-H
VINGT-lTEUVlIlME LEÇON. 35 1
La nouvelle intégrale contenue dans cette formule sera plus simple que la proposée si m est positif et plus grand que 71, et p négatif, car alors p + 1 aura une valeur absolue moindre que p. Mais on peut trouver une formule dans laquelle Texposant^de x bors de la parentbèse soit seul diminué. En effet, on a identiquement
**— (a 4- 6jc"y^» = jcF^ (a -+- bx^y {a -f- bx^)
= aa^^-^ [a -f- bj^f -+- bxT [a -H baf^.
Par conséquent,
= « I af^" {a -^ bx')P dx -h b j jc^{a -h bx^)''dx. Substituant cette valeur dans l'équation (a), on aura / jc" (n 4- bj:^]P dx
nb(p-t-i) nb(p-hi) J ^ ^
Par suite, en transposant le dernier terme et réduisant,
I x^ {a -h bx^)P dx
V M af^-^'ia-^bx^)!^' n^m — n-hi) C
= -j-, ■- —, T-. ■ î^'B'^ia'^bx^'/dx.
L'intégration de x"' [a -f- bx'^Y dx est ainsi ramenée à la recherche de
{a'^bxf)Pdx\ on fera dépendre celle-ci de
j;"-**(a -+- bxffPdXf
352 COURS D^NALYSE.
et ainsi de suite, en sorte que si m est positif et plus grand que 72, en désignant par in le plus grand multiple de n qui soit inférieur à m, on sera ramené, après un nombre/ de réductions, à Tintégrale
j.m-in ^a ^ bx^ydx.
Si l'on avait m — in = n — i , cette dernière intégrale pourrait s'obtenir immédiatement^ car elle deviendrait
x»-'(a-4- bx^)Pdx=: —. hC.
Mais l'égalité m — in = n — i revient à = i -4- 1 ,
et la première condition d'intégrabilité (353) est rem* plie.
Lorsque np + /n 4- 1 = o, le second membre de (A) prend la forme 00 — 00 , et cette formule devient illusoire. Mais, comme h p est égal à o, c'est-à-dire à
un nombre entier, on retombe dans le second cas d'intégrabilité (354), et l'intégrale s'obtient directement.
RÉDUCTION DB l'eXPOSÀNT DU BIIfôlfB.
356. Dans la transformation (A) la réduction portait sur l'exposant de x bors de la parenthèse, tandis que le facteur (a + baf^Y ne changeait pas. On peut maintenant, au contraire, laissant le facteur af* invariable, ramener la recherche de l'intégrale proposée à celle d'une intégrale dans laquelle l'exposant de â + bjc^ sera diminué d'un certain nombre d'unités.
En efTet, comme
x-(« + 6x.)P^=(« + i^/rf- — ,
VINGT-IVEUVIÈME LEÇOJV. 353
on aura, en intégrant par parties,
i I X'" {a -^^ bjc')P dx
f ^ î^ -^ / x*+"(fl -h ba:^y-'dx.
\ /rt -h 1 /H -f- 1 J ^
Par cette formule, l'exposant du binôme a + hx^ a bien été diminué d'une unité, mais Texposant de x hors de la parenthèse a été augmenté de n unités. Pour réduire ce dernier exposant, on change menm-^ n^ et p en p — i , dans l'équation (A) ^ il vient
jT^Ic -h ba*)P-' dx
,, , ... îi^ fx^(a-^bafy-'dx;
6(/î/?-h/iH- i) b{np-\- m-hi)J ^ '
par suite, en portant cette valeur dans l'équation (S),
xf*[a -^ bx^ydx
__ j:*+' (a -+- bx^y npx^^' [a -f- bx'^Y
/o -h I (/n -i- i) [np -h m 4- i)
et, en réduisant,
j:*(a -h bx^y dx (B) 1-^
- jx^la-^bx^y-^dx.
Au moyen de cette formule, on ôtera successivement de p toutes les unités que contient cet exposant.
ît57. La formule (6) devient illusoire quand on a
mais alors on retombe dans le second cas d'intégrabi-
STcmM. — An. y I, 23
354 COURS d'analysk.
lité (354), et Tintégrale cherchée s'obtient par an changement de variable.
En résumé, l'emploi des formules (A) et (B) fera dépendre l'intégrale 1 jf (a-h bx'^Y dx^ quand met p sont positifs, de l'intégrale plus simple
x"-'" (a -H bjc^y-^dx^
in étant le plus grand multiple de n, inférieur à m, et Ar la partie entière de p.
Par exemple, on ramènera l'intégrale
/ x' (a 4- bx^ydx
à j X (a -\- bx*y fix j en la réduisant successivement > par la formule (A), aux suivantes :
et cette dernière^ parla formule (B), aux suivantes :
I x{a -h bx^ydje^ l x (a -^ bx^Y dx .
