FORMULES DE RÉDUCTION DANS LE CAS OU LES EXPOSANTS

m ET p SONT NÉGATIFS.

358. Quand m et p sont négatifs, les formules (A) et (6) ne réduisent pas la différentielle binôme â une plus simple expression; mais elles conduisent à deux nou* velles formules, qui opèrent la réduction dans ce cas.

Occupons-nous d'abord de diminuer l'exposant de jc^ hors de la parenthèse. Pour cela, tirons de Téquation (A)

la valeur de l'intégrale / x^"" (a -h bx^y dx ^ ce qui

donne

1 a:*»-" (a -h bx']Pdx " ^^-'-'[a + b^y*' b{n, + np-^.) Ç^^^^^^y^^^

Ensuite changeons m — «en — /» ou fn en — m -h /i : nous aurons

I x-^ { a -f- bx" )Pdx= ;^

binp

Par remploi répété de cette formule, l'intégrale cherchée pourra être ramenée à la suivante :

' I dr-*+" ia -h bx^y dx.

x-"-*-('-»-')"(a -f. bx^ydx^

dans laquelle in représente le plus grand multiple de n contenu dans m.

Si Ton avait

la dernière intégrale deviendrait

\ x"- (a 4- bx^)Pdx — ^—^^ ^ - 4- C.

Mais comme on a — m -^i

i = un nombre entier,

on retombe dans le premier cas d'intégrabilité.

3o9. Lorsque p est négatif, on tire de la formule (B)

bx^)P-'dv jr"H-' {a -h bx^)P np -h m -hi C

i x'"{a-\- bx")PfU.

anp a ftp

336 COURS dVnalyse.

Si Ton change dans ce résultat p — c en — p ou p en — p -+- 1 , on aura

{ I jf" (a -^ ba:^)-P dx = î— ^ ^

(D) 1 ^ an{p — i)

\ an(p — \) J

Si p est plus grand que i , la valeur absolue de l'exposant du binôme sera diminuée d'une unité; en continuant la réduction, on finira donc par ramener cet exposant à être compris entre o et i .

Quand p = i', cette formule devient illusoire, mais ce cas est un de ceux où Ton sait intégrer.