Exemples

on a

dz I P=rj-»-', zrrix, — = -,

dx X

par conséquent.

TRENTIÈME LFÇOir. 36 1

donc

, « (n — ï). . .3.2. il

Si, dans cette formule, on pose Ix = z^ ou aura

/(.rcsinx)..^..

II faudra faire ici

z = arcsinx, P =1.

Ou aura

Q= 1 Pdj: = x,

-==== — Jl — jr%

5=1 I— Vi — j?^ = — X,

et ainsi de suite; la substitution de ces valeurs dans la formule (A) donnera, en groupant convenablement les tenues,

I {arcsinj:)'»rfj:

z=zx[z* — n (n — 1)«"-"'+ n{n—i) (« — 2) (/» — 3)s»-*— ...] + y'i — jc'[/7«*-» — /i (/î — - 1) (/î — 2) »"-* -f- . . .].

362 COURS d'aaaltse.

Lorsque n est un nombre entier positif^ ces deux séries se terminent d'elles-mêmes.

Si Ton pose arcsinx := ?, on aura

y I — x^ = CCS s, dx -=. coszdZf et la formule précédente deviendra

z" cos zdz

=:sinz[s" — n(n — i)2*-'-|-/i(/i— i) (n — 2) (n — 3) z"~* — .,.] + COS3 [//*«-' — n{n — i)(n — 2) a**-* +...].

Cette dernière formule est d'ailleurs une conséquence d^une autre plus générale. On a

/ /(x) cosxdx =/[x) sinx — j /' {x)smxdxj

ff'i.) sinx^ .. -/' (X) COS. +//'(x) cosx«^.

f/''{j:) cosxdx ^fix) sinx— i f'"[x) %mxdx, et ainsi de suite-, par conséquent

Çf[x) co%x dxz=z\f[x) -/" (x) +/'^(j:) — . . .] sinjr