On peut encore déduire ce résultat de la formule
où, après avoir remplacé les exponentielles imaginaires par leurs expressions trigonométriques, on égalera les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres. Plus généralement, pour obtenir
I z^e^^cosôzdz ot 1 zf^e^^sinbzdz,
il suffit de remplacer, dans la dernière formule, n° 364, i **,
m par a -^ byj — i , et d'égaler séparément les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres.
368. On intègre /(sinar, cosx) dx, / désignant une fonction rationnelle, en posant tang - x= 2. Il en résulte
sina? = 2sm — xcos — x =z ,
coso? =r cos' - X — sm* - X = 4
2r/z dx = ,
TREMTIÈME LEÇON. 365
d^OÙ
fonction rationnelle par rapport à z»
369. Voici quelques fonctions trigonométriques qui se présentent souvent dans les calculs et dont Fintégration s^obtient avec facilité.
I® I sina:cosx^= I sinxc/sinx:^ '- -H C.
On peut aussi écrire
Donc
sinxcosx</r z=: — y ces 20: + C.
Il est aisé de s*assurer que ces deux expressions de la même intégrale ne difierent que par une constante.
* //ces X a" ( tangxrfr r^ — / = — Icosx -f- C,
tangxd[r=: — |
r ^ rd%\nx , .
I cotxdx=z I — ; =r I sinj? 4- C.
J J «no:
lAnaxdx = 1 \- C.
cosj:
, r dr I cos'.r Tc/rancx
4" I -^ == I -' — / - — — = ltang«-hC.
^ J siDxcosx f sin.r J tangx "
cosx
"^ / sm - .rcos -x
Cette intégrale se déduit de la précédente en remplaçant x
par — f-x.
^** \ dxsj \ — cos j: = I id ( - -c ) ^2 sin - x
=r — 2 i/2 COS - X H- C.
On trouvera de la même manière
I dx^i -\- COS X == 2 \/2 sin - X -h C.
^ flsinx-f- 6cosx
On pourrait ici employer la méthode générale (368)^ mais il vaut mieux écrire
dx T /> r/x
a» -i- b^ I gsinx J y/a' -f b^
sinx + ^cosx J^i | ^'ï I asinx 6cosx
Si l'on pose — — =1^ cosA et =sînA,
on aura
asiiix -t- ^cosx ^^2 | b^ j sin (x -h / ) ou bien (5°)
r dx
^ J a sinx -h ^ cosx H- c
Il faut employer, dans ce cas, la méthode générale (367)^
et poser tang- x = z : on est alors conduit à intégrer la la fraction rationnelle
ce qtii donne, suivant les cas,
3 (c — (A tani'^x — a arc tang ^ — — j
Vc» — b^ — a} ^c' — b' — a
ou
(c — b\ tangl jc -h a — ^a' + b^ — c*
« 1 , ~T~ Vi.
^û»-h ^*— c' (c — b) lang|x -i- « -h ^a^-+- ^* — c*
