Si Ton pose sinx= z, d'où

JL -1

cosj: = ^i — «')' et <ilr = (i — «*) "cte, on a

sin"a: cos'* xflx = «" (i — z*) ^ dz,

d'où Ton voit que si n est un nombre entier impair, positif ou négatif, on pourra intégrer, quel que soit m. On verra de même, en faisant cosa: = z^ que Tintégration pourra se faire quand m sera un nombre entier impair, positif ou négatif.

Dans tous les cas, quels que soient m et /i, on ramène cette intégrale à d'autres plus simples au moyen de Tin-

TnEIfTIÈMe LEÇOIt. iCxj

tégration par parties. On a

/ sin^xcos'x^jrr^ I cos''~'xsin"xcos.rcte = I cos"~'jrsin*x^(sinx)= | cos"'"'-cc/

m -+- I et par conséquent

Il s\n'^ X cos" X elx 171 -t- I m -\- \ 1

Cette formule est avantageuse lorsque m est négatif, et n positif. Mais il est possible d'obtenir une formule dans laquelle Texposantn seul soit diminué de deux uni tés.

Pour cela, observons que

sin*"**'x cos*~'x = sin" jr ( i — ces* -r) cos""' jt,

sjfjw-Hïj. cos"~'x = sin^xcos'*"* j: — sin" j:cos*x,

doù

z=z 1 sin"xcos'*~'x</x — I sin^xcos'x^ir.

Substituant cette valeur dans la relation ((3), il vient I sin^j: cosl^xdx = cos"""' x

sm'"'*"'.r

nt -f- 1

H ( / sin"x cos"~'a:r/r — I sin^xcos'xrf-c ) 9

ou bien, en réduisant,

1 / sin^xcos^x^x

I rr= 1 I sm*x coî>"~'a:ax,

Stcrm. — An.^ I. 24