COURS d'analysb

Ainsi/sin-xcos-x^estramen^eà/sin-xcos-x^.

On ramèDcrait de même cette dernière intégrale à

I sin"'a: cos"~*xrfx, et ainsi de suite ; en sorte que si n est

un nombre entier positif, on sera conduit à Tune des deux

intégrales | sin'"x^x, ou j sin'^jrcosx^/r, suivant que »

est pair ou impair, intégrales qu^on sait obtenir. En efiet, nous avons indiqué plus haut (371 ) le moyen de calculer

sin"^xdx^ quand m est un nombre entier positif, et,

d'un autre côté, on a

I sm^x cosjrar =: I sin"'xc/smx = h C.

373. La formule (B) devient illusoire quand m = — n; mais, dans ce cas, la formule (j3) donne

/tanc«+'.r r tang^xaar = f iang^'^^xdj:.

Changeons maintenant m + 2 en /n ou m en m — 2, et résolvons par rapport à j iang^xdx : il vient

flanc"- 'j: f* iaLng"x(lxz= — I tang*^'xax.

Cette formule sert à réduire Texposant de tangx, et conduit, selon que m est pair ou impair, à

dx := X -h C,

OU a

tanç'xdx = — 1 cosjî -h C.

374. La formule (B) fait porter la réduction surlexposant de cosx. Mais on peut en obtenir une autre qui

réduise Texposant de sinxeu remplaçant x par Xj

m par netn par m dans la formule (6), ce qui donne

I sin'"j:cos'*jrrfx

' sin'"~*j:cos"'*'":r m — i / . , „ .

= 1 J sin"^'j:cos"ar<tJ:.

m -^ ri m -\- n j

Cette formule sert à réduire Texposant de sino: lorsque m est positif. Si n est un nombre entier pair, on a vu qu' au moyen de la formule (B) on ramenait l'intégrale proposée à l'intégrale | sin'"x Jx. Maintenant, au moyen de la formule (D), on la ramènera, si m est impair, à l'intégrale 1 s\nxdx = — cosa: -f- C, et, si m est pair, à l'intégrale I rfx = X -}- C. Donc, lorsque m et n seront entiers et positifs, il sera toujours possible de trouver l'intégrale

sitï'^xcos'^xdx.

375, Les formules que nous venons d'obtenir ne pourraient être employées dans le cas où l'un des exposants m et /2, ou tous les deux, seraient négatifs. Mais elles en fournissent d'autres, qui permettent de faire les réductions dans ces derniers cas.

Supposons m négatif, n étant positif ou négatif; en remplaçant m par — m -h a, dans la formule (D), et en résolvant par rapport à l'intégrale qui est dans le second membre, on aura

rinlégralc proposée se ramènera donc à I cos'^xdx ou à

zos'*xetx