DES INTÉGRALES DÉFINIES

Définitions et notations. — Signification géomélriqne. — Eiemples dMntégrales définies. — Des intégrales considérées comme limites de sommes. — Remarques diverses. — Calcul approché d*une intégrale définie. — Nouvelle démonstration de la série de Taylor.

DÉFINITIONS ET NOTATIOÎCS.

377. Lorsque 9 (x) est une fonction de x, dont la différentielle estf(x) dx^ on a

9 (x) •+- C est nommée Vintégrale indéfinie de la différentielle /"(x) dx. Ordinairement on fixe la valeur de la constante indéterminée C d'après la condition que Tintégrale devienne nulle pour une valeur particulière a, attribuée à x. Dans cette hypothèse, C= — ? (^) ^^

f[x)dx ^=z^[x) — ff {a).

Il reste encore dans cette expression une indéterminée x; mais si Ton donne à x une valeur particulière A, Tintégrale, qui devient 9 [b] — 9 (a), est complètement déterminée. On la représente par la notation i f{x) ^^^

et on la désigne sous le nom àHntégrale définie, prise entre les limites a et &, ou depuis x = a jusqu'à x = à^ On a donc

f{x) ilx =<f (b) — ^ (û).

TRENTE ET UKIÈME LEÇON. ^-jH

Ainsi la valeur de Tînlégrale définie s'obtiendra en faisant dans Tintégrale indéfinie x = a^ puis x=^b^ et retranchant le premier résultat du second.

SIGNIFICATION GÉOMÉTRIQUE DE l'iNTÉGRALE DÉFINIE.

378. Soit CMD la courbe dont Téquation en coordonnées rectangulaires est^=:y*(a:). On a vu quej'(x)dx était la différentielle de l'aire d'un segment terminé à une

Fig. 70.

générale, Taire comprise entre . la courbe, Taxe des abscisses

et deux ordonnées quelconques.

Mais si la constante arbitraire est déterminée d'après la condi-

tion que Tinlégrale ou l'aire soit

nulle pour x = OA = a, OP = x étant l'abscisse d'un point quelconque de la courbe, la valeur de l'intégrale pour cette valeur de x sera la surface ACMP. Par conséquent, si l'on y fait j: = 0B = 6, la valeur de Tintégrale représentée, comme nous l'avons

dit plus haut, par | f[x)dx^ sera la surface CABD,

comprise entre la courbe, l'axe O j: et les deux ordonnées fixes AC et BD.

EXEMPLES d'intégrales DÉFINIES.

jT* dx z=.

ii-'t- i

> si « -+- I est positif.

I 3 x — I x\ (Le -- — = arc tans — ^^ î- C,

/ / 'x) r/jT ^-r —^-^ ( arc tanff — := — arc lanc — ^= )

— ;= arc lang

r« r r/jr I -îC ^

4 1 — : = - arc tang - -f- C,