DE SOMMES
380. Dans ce qui précède, on suppose y (x) finie et continue depuis x = a jusqu'à x = b. Dans ce cas, /V/i-
tégrale définie 1 f{x) dx est la limite de la somme
des valeurs infiniment petites de la différentielle f(x) dxy lorsque x varie ^ par degrés insensibles , depuis a jusqu^à b.
TRKWTE ET UNIÈME LEÇON. 3^7
Supposons, pour fixer les idées, a moindre que &, et
admettons quey*(j:) croisse constamment depuis y*(A) jusqu'à f(h). Considérons la courbe CMD, dont l'équation, en coordonnées rectangulaires, est
Soient 0A = a, OB=ri, OP = a:, MP=/, PF= Ax. On a vu, dans le calcul diflérentiel , que Taire CADB était égale à la limite de la somme d'une infinité de recungles tels que MPP'I. Or on a MPP'I ==/(x) Ajc; donc, si Ton désigne par 2 \^f[^) ^x"] la somme de tous ces rectangles, on aura
f{x) dx = lim^) \/(^) A*] =2 f-^^'*^) ^'"^l»
ce qu'il s'agissait de démontrer.
Ou démontre encore ce théorème d'une manière purement analytique. En effet, soit (f (x) Tune quelconque des intégrales de f(x) dxj en sorte que f(x) = 9' (x) :
on aura
o (a: H- àjr) — 7 (x) = [ç' (x) -f- a] A jt,
OU
A^{x) = [/{x) -t-alAj-,
a étant une fonction de x qui s'annule en même temps que Ax. Or, si Ton fait varier x par degrés quelconques égaux ou inégaux, mais de plus en plus rapprochés, depuis x = a jusqu'à jr = 6, on obtiendra, pour chaque valeur attribuée à x, une équation analogue à Téquation (i) 9 en ajoutant toutes ces équations, on aura dans le premier membre la somme des valeurs de ûcj'(x), c'est-à-dire l'accroissement total de <f (x) ou cj> (i) — f [aj ; il viendra donc
Mais, d'après un théorème démontré (16)^ on a
Iim\' (aAjf) == o.
Donc l'équation (a) devient, en passant à la limite,
ç (^) - <p {a) =£ f{£) dx = lim 2 [/{'^) A^]=2 f-^^^^ ^^-
Ainsi l'intégrale déûnie est la limite vers laquelle tend la somme des produits tels que f(x) Ax quand x varie par degrés de plus en plus rapprochés, depuis a jusqu'à b ; ou, sous une forme plus abrégée, l'intégrale est la somme des valeurs inCniment petites de la différentielle.
C'est à cause de cette propriété que Ton désigne les
intégrales par le signe f , lettre initiale du mot
somme»
