DIFFÉRENTIELLE

SO. Soit

donnons à x un accroissement quelconque A, positif ou négatif. Soit k l'accroissement correspondant de /; on a

A' puisque la limite de - est j'^ on doit avoir, quand h n'est

pas nul,

a étant une quantité, fonction de x et de A, qui doit tendre vers zéro en même temps que h. De là résulte

k ^= x' h 4- oih.

Ainsi r ace roi s sèment h de la fonction se compose de deux parties distinctes j la première y' h est le produit de l'accroissement de la variable indépendante x par la dérivée de la fonction. On, l'appelle la différentielle de la variablej^, et on la désigne par dy^ de sorte que

dyz=.y'h ou /'[x)h.

La seconde partie est le produit de h par une quantité a qui s'annule avec A : on ne s'en occupe pas.

La difTérentielle de la variable indépendante n'est autre chose que Faccroissement h. En effet, considérons la fonction

on a

par suite,

et enfin

Stcam.

-^An.,

Ainsi, pour cette fonction de x qui est la plus simple de toutes^ la dérivée est i ; par suite, ladiflerenticlle

dy ou rfx =: I X '' =^ ''• Par conséquent, la formule

dy^y'h

peut s'écrire

dyz^y'djc'^

d'où Ton déduit

dr dx

Ainsi la dérivée d^ une Jonction d*ane variable est le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable. C'est pourquoi on appelle aussi la dérivée rapport différentiel ou quotient différentiel.

On dit encore que le quotient diiférentiel est la dernière raison (ou le dernier rapport) des accroissements simultanés des variables. Mais les accroissements, étant nuls à la limite, n'ont pas à proprement parler de rapport, et ce que Von appelle ainsi n'est que la limite dont le rapport de ces quantités approche indéGniment.

21. La diiïérentielle est susceptible d'une représentation géométrique. En effet, soit AMB la courbe repré-

F'iQ. 3. scntéc par Téquation

On a

Mz

tanffliNLN rr- Ijm - = y\

Oi

Donc

IN = MN tanglMN.

ainsi IN représente la diflerentielle de j% si d'ailleurs

U^^zh-zdjT.

On voîl par In que dx et dy sont les accroîssemenls correspondants de X cl de ^, quand on passe du point de contact M situé sur la courbe à un point quelconque I de la tangente, landis que A ou M'N est raccroissement de l'ordonnée de la courbe correspondant au même accroissement h = dx de Tabscisse.

22. Toutefois, quoique IN et M'N soient en général différents, leur rapport tend vers Tunité^ en ell'et,

de -r = t' -r- a, on tire

il ^

d'ailleurs, dy ^— y' h : donc

ciy y' y

et, s\ y n'est pas zéro,

Iim — — I :

ainsi le rapport de l'accroissement de la fonction à la différentielle de cette fonction tend vers Vanité, pourvu que la dérivée ne soit pas nulle.

Pour des valeurs données de x et y^ le rapport des différentielles dx et dy a une valeur bien déterminée, mais les différentielles elles-mêmes sont essentiellement indéterminées, et Fon peut leur attribuer des valeurs finies. Toutefois, on les suppose le plus souvent inGniment petites et l'on dit que dy est Taccroissement infiniment petit de^'; celte identification n'entraîne pas d'erreurs dans les opérations les plus ordinaires du Calcul infinitésimal, mais il faut bien remarquer qu'elle n'est rigoureuse que si y est de la forme ax -f- b.