PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS DÉRIVÉES

23. La relation (n° 22) conduit à plusieurs conséquences remarquables.

Attribuons à x une valeur déicnniuée, jr' aura aussi une valeur déterminée; si Ton donne ensuite à x un accroissement suffisamment petit, le signe de ^^H- «, sera le même que celui de^', puisque a peut devenir aussi petit que l'on voudra ; le signe de k sera donc celui de y'hy et comme nous supposons h positif, k aura le signe dej^'. Donc, si j^' est positive, k est positif, c'est-à-dire que la fonction augmente, et si j^' est négative, la fonction diminue. Ainsi une Jonction croît ou décroît à partir d^une valeur déterminée de x, suiuant que sa dérivée estj pour cette valeur^ positii^e ou négativ^e.

Il résulte de là que, si la dérivée d'une fonction reste constamment positive lorsque x varie depuis la valeur a jusqu'à la valeur 6, la fonction croîtra continuellement dans le même intervalle; ce sera le contraire si la dérivée est négative.

Prenons pour exemple la fonction

yz= — x' — 2x'-*- 3x-h I.

Construisons la courbe représentée par cette équation

Fig. 4.

Pour jc=:oonaj^=ri,

Jr=i, ^ = ^3»

jr = 2,

yz=\

ar=: — I, jr —

En construisant ces difTérents points, on reconnaît que la courbe présente à peu près la forme MM'M''M'".

Mais si Ton veut savoir pour quelles valeurs de x Fordonnée va en croissant ou «^n décroissant, on prendra la

dérivée dey. On aura

/ ^-x»— 4jr-i-3=:(x-~l)(jr — 3).

On voit alors que si Ton fait croître x de o à i , la dérivée j^' est positive; l'ordonnée ira donc en augmentant depuis le point M' jusqu'au point M". Pour le point M% dont Tabscissc est x = i, on a j^' = o, c'est-à-dire que la tangente en ce point est parallèle à Taxe des x. Si Ton fait croître ensuite x. depuis i jusqu'à 3, la dérivée r devient négative; l'ordonnée va donc en diminuant depuis le point M" jusqu'au point M'"; et comme ^' = o pour X = 3, la tangente en ce dernier point est encore parallèle à l'axe des x.

En6n, si l'on donne à x des valeurs croissantes à partir de 3, la dérivée j^' est constamment positive; l'ordonnée de la courbe va donc toujours en augmentant à partir du point M"^. Si Ton donne à x une valeur négative quelconque, y* est positive, et par conséquent pour des valeurs négatives de x et croissantes, les valeurs correspondantes de l'ordonnée vont encore en augmentant. Il faut bien remarquer qu^une quantité négative augmente quand sa valeur absolue diminue.

2i. On déduit de la formule

que si la dérivée d^une fonction est nulle pour toutes les valeurs de x comprises entre aet b^ cette fonction a une valeur constante dans cet intervalle.

Nous supposerons a<^b. Puisque lim - = o par hypothèse, on aura, pour une valeur quelconque de x comprise entre a et fc, y <^ e en valeur absolue, pourvu que h

soit suffisamment petit; z étant d'ailleurs une quantité déterminée qu'on peut prendre aussi petite que l'on voudra. Ou déduit de là k<^zli.

a2 COURS d'aîcalysf.

Considérons actaellement deux valeurs quelconques de X, X, elx„ comprises entre a et i ; je dis que les valeurs torrespondanlesj^i tijr^ seront éi;ales. En effet, donnons àx une suîle de valeurs comprises enireXi et Xj, croissant d*aiileurs par degrés égaux ou inégaux, mais assez pelîls pour que l'on ait, pour une quelconque de ces valeurs, h <^th^h étant pris en valeur absolue. Nous aurons ainsi une suite d^înégalités de la même forme: et si nous les ajoutons, il en résultera que la somme des accroissements successifs de la fonction y pris tous positivement sera plus petite que la somme des produits e/i, c'est-à-dire plus petite que le produit de la quantité e par la somme des accroissements de la variable x, savoir Xj — Xi. Donc, à fortiori^ la somme des accroissements successifs de la fonction pris avec leurs signes, ou^, — ji^ est plus petite que e (x, — x, ) ; donc

et comme e peut être pris aussi petit que Ton voudra, il s'ensuit que la différence y^ — y y est plus petite que toute quantité donnée, c'est-à-dire nulle : on a donc

ri— ri = o» «w x^~^Xx'

La fonction j" conserve donc la même valeur pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle considéré : ce qu'il fallait démontrer.

2o. Le rapprochement des deux propositions précédentes conduit encore à cette conclusion, que si une fonction est croissante dans un certain interual/e. sa dêriv^èe ne peut devenir négnti\*e dans cet inten/alle ; mais elle peut passer une ou plusieurs fois par zéro. De même, si une Jonction est décroissante^ sa dérivée sera négative^ mais elle pourra s'annuler pour une ou plusieurs valeurs particulières.