Si c est une valeur de x comprise entre a et b^ on aura

a Ja

f /(x)dx = ,{b)-^{c);

donc

f /{x)dx= c /{a:)dx+ f /(x)dx.

On peut encore démontrer cette formule en s'appuyant sur le théorème du n^ 380, ou bien en remontant à l'interprétation géométrique des intégrales définies.

On démontrerait de même que

I f{x)dx= I f{x)dx^ j /[x)dx-¥- f f{x)dx-^ I f\x)dx

et ainsi de suite.

CALCUL APPROCHÉ d'uNE INTÉGRALE nÉFIME

383. Quand on ne sait pas intégrer une différentielle donnéey'(x) d!r, on peut souvent parvenir à deux limites

qui comprennent l'intégrale déflnie f f (x) dx. Pour

cela, soit if{x) une fonction de x telle, que ^ [x) soit moindre que/ (x) pour toutes les valeurs de x comprises entre a et i. Je dis qu'on a Tinégalité

38o COURS d'analyse.

La considération des courbes le démontre d'abord trèssimplement. En effet, soient CMD et C'M^D' les courbes Fig. 72. dont les équations sont respec-

tivement j =f{x),j = ^(x) ;

comme de

x—OA = a à x=zOB=b, * on a

la courbe C^M'D' sera au-dessous de la courbe CIVID entre les ordonnées CA et BD ; par conséquent on aura

aire CABD > aire C ABD%

ou

/[x)dx> f ^{x)dx.

Autrement : puisque/ (x) — rp (x) est ]> o, pour toutes les valeurs de jr, depuis j: = a jusqu'à a: = è, Tintégrale

Jl [y (x) — 1{; (x) ] dx^ dont la dérivée est positive* croît

en même temps que x, et comme cette intégrale est nulle pour X = a, elle est toujours positive : on a donc

r [/W-->î'W]^'^>0> ou f /(x)cix> f ^[x)da:.

De même, si ;^(x) est une fonction de x telle, que -f^ (x) surpasse /(x), de x = a à x = i, on aura

Par conséquent, si Ton sait intégrer t{/(x)fixet ;f(x)rfx, deux limites qui comprendront I f[x)cix.

on aura

38^. Exemple.

TKENTB ET UNIÈME LEÇON. 38 1

Tant que X est plus pelil que i, on a

et, par suite,

Or

^1 ' I ^^ = 0,5, I -r = arc sin - = o,5236. . . .

Donc on aura

«/ o V^ 1 — x^ NOUVELLE DÉMONSTRATION DE LA FORMULE DE TAYLOR,

38o. Les propriétés des intégrales définies conduisent à une nouvelle démonstration de la formule de ïaylor. On a identiquement

mais l'intégration par parties donne successivement = //'(:r-f-/i~-/)-H Ç tf"[x-\-h~t)iU,