On peut quelquefois reconnaître si l'intégrale

f{x)dx

a une valeur finie quand b devient infini.

Supposons b très-grand, mais non infini : en appelant h une quantité comprise entre a et i, on a

f f[x)dx^ f f{x)dx-^ f f{x)dx, Ja Ja Jk

Puisque^ (jr) ne devient pas infinie, la première partie de Tintégrale est une quantité finie; il suffit donc de

savoir si Tautre partie i f[x)dx est finie. Mettons f{x) sous la forme

C7 (x) désignant une fonction qui reste finie pour toutes les valeurs de x plus grandes que k. Soit M la plus grande, et m la plus petite des valeurs de cr (j:), pour toutes les valeurs de x plus grandes que h : on aura

Stcrh. — An.y I. 25

386 couBs d'awalyse.

On aura donc

J /(x)da:<^£ ^:

OU

X>'"-<.-^G--it.)-

cette inégalité se réduit, pour i =: oo , à t;;::;' ^^''^

Or, quand n est plus grand que i , le second membre de

/{t) dx a, dans ce cas, une valeur finie. Si n est moindre que i, on aura

ou

Jk I — /i

Or, T — n étant positif, le second membre de cette iné*

Xb f[x)dx^ et

par suite I f(x) dx^ est infinie pour b rrz <x> . Enfin, si 71 = I , on a

mais 1 ( - j = 00 quand i = oo : donc

/{x) dx=zço.

La même remarque s'applique à Tintégrale

quand on peut mettre y(j:) sous la forme — —^5 u (r)

restant finie pour toutes les valeurs de x comprises entre — 00 et une certaine quantité moindre que b : cette intégrale est finie si n est plus grand que i , et infinie si n est inférieur ou égal à i .

INTÉGRALES DANS LESQUELLES LA FONCTION SOUS LE SIGNE I DEVIENT INFINIE ENTRE LES LIllITES DE l'intégration ou a CES LIMITES.