Dans le cas où^ (x) devient infinie pour j* = fc

on définit f f(x] dx comme étant la limite de Fin-

f(x) dXj lorsque e décroît jusqu'à zéro. De même, s\f[a) = 00 , / f{x) dx est la limite de

/ f('^) ^^^ quand e décroît jusqu'à zéro.

Enfin, si f(c) est infinie ou discontinue, c étant une quantité comprise entre a et £, on pose par défini tiou

' /( j:) rfj? = lim / f[x)dx-^\\m\ f{x)dxj

quand e et y] décroissent jusqu'à zéro.

On voit, d*après cela, comment il faudrait définir

/ /(.r) rfjc, si y*( r) devenait infinie ou discontinue,

pour un plus grand nombre de valeurs de x comprises entre a et h.

390. Quand la fonction /(x) devient infinie à Tune des limites ou entre les limites, on peut souvent rccon-

naître si la valeur de l'intégrale est Jinie ou infime. Supposons, par exemple, /(fe) = oo : soit

n étant un nombre positif et t^[x) une fonction qui ne devient pas înlinîe lorsqu'on fait x<b. Appelons A- une quantité comprise entre a et & et aussi rapprochée de h que Ton voudra \ on a

/[x)dx= j /{x)dx-\-j /[x)dx.

^^> I f{x) dx a une valeur finie. Il suflSt donc de

savoir si / J [x) dx est finie-

Désignons par M et m deux constantes entre lesquelles îT (x) reste comprise, lorsque x varie de A à i. On aura pour ces valeurs de x, si n est plus petit que i ,

par suite,

/ix]dx<J

(b-xy

Quand e tend vers zéro, le second membre de cette iné galité tend vers la valeur finie — — (b — A)*""". Donc,

f[x)dx^ et, par suite, I f[x)dxj a une

valeur finie.

Je dis maintenant que, si loua » > i , Tinlégrale pro-

TBEIlTE-DEUXlkMB LEÇON. 889

posée esl infinie. En effet» on a par suite,

n étant une quantité plus grande que i, lorsque e tendra vers zéro, le second membre deviendra infini. Donc,

à fortiori^ l f[x) dx tendra vers Finfini.

Il en serait de même si l'on avait /i = i; car, de Tinégalitc

on déduit

*-• dx

j 'f{x)dx>mj

>iiil

Le second membre devient infini quand e s'annule; donc I f(x) dx^ et, par suite, I f{x) dx elle-même sera in fi aie.