Si la dérivée d'une fonction était constamment

DEUXIEME LEÇOir. â3

infinie, userait une constante; car si

,. fi ,. h

lim •- =11 00 , on a lim -7 = 0, h k

et par les mêmes raisonnements (24), on déduirait de là que deux valeurs quelconques de x sont égales (*).

27. Nous avons désigné jusqu'ici les accroissements simultanés des variables x eiy par les letlres h et h\ mais comme on aura bientôt à considérer un plus grand nombre de variables, il devient nécessaire d'employer une notation qui rappelle toujours à quelle variable se rapporte chaque accroissement. On se sert à cet eflet de la caractéristique A. Ainsi, quand on considère plusieurs variables x,/, z, u liées entre elles par des équations, de manière qu'une seule soit indépendante, on représente les accroissements simultanés de ces variables par Ax, ùj^ Az^ ^u. Si l'on prend x pour variable indépendante, les rapports

Ar àz Art ^jp Ax Ax

auront pour limites respectives

r/r fiz ffn

H' Tx' H'

quand Aa? décroîtra indéfiniment.

28. Lorsque deux fonctions sont égales pour toutes les valeurs de la variable indépendante^ leurs différentielles ou leurs délivrées sont égales.

Eu efiet, soient u et u deux fonctions égales de x. Donnons à a: un accroissement Ar j soient Au et Ai/

(*) La dérivée d*ane fonction continue ne pouvant ôtre nulle ou infinie que pour des valeurs parliculières de la variable, il en résulte qu'en général Taccroissenient infiniment petit d'une functiun est du mémo ordre que Taccroissement de la variable.

a4 COURS D^A^ALTSE.

les accroissements correspondants de u et de f^; on aura

et, comme u = Vj

Au = Al»,

d*où

Aff Ap Ax- Ax

Cette équation, ayant lieu quelque petit que soit Ax, aura lieu encore à la limite: or la limite de — est la dé-

' Ax

rivée de u ou -;- : de même la limite de — est -7-; donc

ox Ax fix

du d9

-— =r -p- ou duz=z dp.

dx dx

La même conclusion subsiste quand les deux fonctions proposées ont une différence constante; car, soit

en changeant x en x + Ax, on a

tf-hAll=:P-+- AP-t-C,

et comme 11 = t' -4- c, on a encore

par suite.

ou enfin

A M Ap

Attr=A«', z=z :

Ax Ax

du di*

dx dx

du rm dVy

c'est-à-dire que deux fonctions qui ont une différence constante ont la même différentielle*

29. Réciproquement, si les différentielles de deux fonctions sont égales entre elles ^ dans un certain in ter-

fYi//e, ces fonctions auront^ dans cet infervalle^ une différence constante.

En effet, soit j^ la différence u — y\ et supposons que

Ton ait

du dv

dx djc De Téquation

on tire

jr -h A/ =: tf -t- Ail — P — Ac* OU

àjr =^ ^u — Ap,

Ar An Ai' Ax Ax Ax

OU enfin, en passant à la limite

dy du dv dx dx dx

Ainsi --est nulle, et par suite y est une constante : ce qu'il fallait démontrer.