DES INTÉGRALES INDÉTERMINÉES

392. Une intégrale définie peut quelquefois devenir indéterminée^ c'est ce qui a lieu pour l'intégrale

cosxdlr = sinoo — sin o ,

car sin x, lorsque x tend vers Tinfini , ne tend vers aucone limite déterminée.

En voici un autre exemple : soit l'intégrale

a et & étant deux quantités positives quelconques. Comme - devient infini pour x = o, valeur comprise entre — a et -H i, il faut poser

et faire tendre teim vers zéro. Or,

I =18 — la, f =1^— iljj

donc

f — -+- f ^ = 16-l(4-a)H-le-lT) Par conséquent,

jr;f=,Q.n.,(^).

Mais comme il n'existe aucune dépendance entre les deux

ig2 COURS D^ICÀLTSB.

quantités variables e et yj, - ne tend vers aucune limite déterminée, et par conséquent Tîntégrale est indéterminée.

INTÉGBATION PÀK SÉRIES.

393. Etant donnée une diirérentielley(j:) dx^ si Ton peut exprimer y (x) par une série convergente

on aura, en multipliant par dxj et en intégrant entre deux limites a et &,

f f(x)dx=z j Uidx-h j u^dx -\- , . ,

1 Ja J a

-h / u^dx-h I r„dx.

•Ja Ja

Si la série (i) est convergente pour x^=a^ x = b et toutes les valeurs de x comprises entre a et &, on peut supposer rn<C^9^ étant une quantité aussi petite que l'on veut, pourvu que n soit assez grand. Dès lors

' r„dx<:^ I frfr, a «/a

I r^dx<^z [b — a).

Donc I Vndx décroît jusqu'à zéro quand n augmente jusqu'à l'infini. Il en résulte que la série

Jf*b /•b /*b /%b

Uidx -i- j Uidx -^ j u^dx -r. , .-h I tf, iix-h . • • a J a va %) a

est convergente et qu'elle a pour somme / f{x) dx. On

TRENTE-DEUXIÈMB LEÇON. 3gi

pent remplacer la valeur fixe b par rindéterminée x, et il vient

f[x)dx:=:z I 1/, rfjT -+- 1 ff, l/x -t- . . . •

394. Celte formule est encore vraie pour x = A , mcme lorsque la série «i -h «i -f- Uj H- . . . , convergente quand x est moindre que b , devient divergente pour X = b^ pourvu que la série (3) soit encore convergente et reste fonction continue de x. En effet, quelque petite que soit la quantité positive e, on a

/{x)dx==: j Ut€/x-+- I Uidx-h j «,rfi*-4-....

Or les deux membres étant des fonctions continues de x, qui ont constamment la même valeur, leurs limites pour r = o doivent être égales. Donc

J/*h pb ph ph

a «/tf ft/a «/A

395. En général , si la formule de M aclaurin donne poury (x) une série convergente,

/(x) =/(o) +x/'{o) + -f-rn + -^/' (o) + . . .,

on aura

J/(a:)dx=.C^x/(0)^^ri0)^j^^r(0)-^.,..

Si Ton veut en déduire l'intégrale définie / / (x) dx^

c'est-à-dire si Ton veut que Pintégrale commence à x = o, ou soit nulle pour x = o, il faudra que C soit nul. On a, dans ce cas,

r/{x)dx=zx/{0) + -^/'(O) H- -^/-(x) -H. . ..

394 COURS D^AKÀLYSC.

EXEMPLES d'intégration PAR SÉRIES.

Par une simple division on trouve

I JF"

Donc

x« X» j;« ^ X» r' ^dx

Quand x est moindre que i en valeur absolue, la série 1 — x-hx* — x'-f-... est convergente; donc la série

•jï «•• 'J/Â

X h-T 7-4-... l'est aussi entre les mêmes limites

de X. Donc quand — i<^x<^-f-i, on a

tend vers

zéro quand n augmente indéfiniment.

En effet, si x est positif, on a

donc

Jo '"-^ Jo

jc^dx •= -

Or quand n augmente, le dernier membre tend vers zéro. Donc, en arrêtant la série à un certain terme, Terreur commise sera moindre que le terme suivant. Cette erreur sera en plus ou en moins, suivant que le dernier terme employé sera de rang pair ou de rang impair. Quand x est négatif, en désignant par a une quan-

TBEHTE-DEUXIÈMB LEÇOH. 89 5

tité plus grande que x, mais moindre que i^ on a

et, par suite,

expression qui tend vers zéro lorsque n augmente jusqu'à Tinfini. Dans ce cas, Terreur est toujours dans le même sens.

Si l'on avait a: = i , la série i — i-f-i — n-i~... cesserait d'être convergente, mais la série i h^ — jH-...

le serait encore, et représenterait I2 (394). On a donc