III

Je* dx f ; arc tangx.

Ona

=1 —x»-f-x* — «•-+-.. .±La*-'z

n étant un nombre positif impair ; si Ton intègre les deux membres et qu'on désigne par arc tangx le plus petit des arcs positifs ayant x pour tangente, on trouve

X» X» x' , x« r'x^+'dr

arc langx r=x — -5-^--^ \-. . .±— qz 1 - — -•

» 357 n J^ 1 H- JP^

La série i — x' -+- x* — x* -;- . . . cesse d'être conver-

gente pour x = i , mais la série x — "ô" "^ â" — • • • ^'®^' encore pour x = i ; on aura donc

tr ï l I

arc tang 1 = --— 1 — - H-^ — --»-

r dx

= arcsmx.

Par la formule du binôme, on aura

Multipliant le second membre par dx et intégrant, il

vient

,, . IX* i.3x» 1.3.5 4r'

série convergente quand on a — i<^x<[i, puisque la série (i) est convergente entre ces limites.

La série ( i) cesse d'être convergente pour x = i\ néanmoins, comme pour x = i = sin - la série (2) est encore convergente, on a (394)

fr II I .3 I 1 .3.5 I

On trouve une série plus convergente en faisant