FORMULES GÉNÉRALES

397. SoitClVlD la courbe dont rëquation eu coordonnées rectangulaires estjr =J [x)j et représentons par u Taire ACMP. En appelant x eiy les coordonnées du point variable M (207), on aura

du = jrdx =z/'[x) dx.

Par conséquent u = ff{x) dx.

Si Ton veut que l'aire soit limitée à l'ordonnée CÂ correspondant à Tabscisse OA = a, l'intégrale doit com«mencer à x = a, et Ton a

Fig. '

«-- / f{3c)dx^

X représentant l'abscisse d'un point quelconque de la courbe.

Enfin, si on limite de même l'aire à l'ordonnée BO correspondant à a: = OB = A, on a

a = aireABCD= / /{x)dx.

Si les axes étaient obliques, ou aurait, en appelant 0

Tangle des axes,

COTJRS D AWALYSE.

aireABCD = sinÔ / /(x)dx.

398. L'intégrale définie est la somme des valeurs inOniment petites de la différentielle entre les deux limites a et b. Or, si Ton suppose, ce qui est le cas ordinaire, que dx soit positive, /(x) dx ou la différentielle de IVire Fij. -^e. sera positive ou négative, sui-

vant que/(.r) ou l'ordonnée/ sera positive ou négative. Par conséquent,rintégrale représentera la différence entre la somme des segments situés au-dessus de Taxe des x et la somme des segments situés au-dessous, de sorte que, si l'ordonnée change de signe deux fois, par exemple, entre les ordonnées AC et BD, on aura

r /[x) dx = ACH — HIK -f- KDB.

La somme de ces segments serait donnée par

r /{x) dx^ f /[x) dx^J /(.r) r/x,

en désignant par h eik les abscisses OH et OK.

399. Si Ton voulait avoir la mesure de la surface cora- FJe- 77- prise entre les deux ordonnées

CA, MP, Tare CM et Tare CM' d'une autre courbe ayant pour équation

on aurait f xdx— \ ydx= j {y—r)^*

TRBHTB-TEOISIÈMK LBÇOlf.