EXEMPLES DE QUÀDEATDRES DE CO CUBES RÂPFOETÉES A

DES COOUDOHNÉES RECTILIGNES.

400. Soit d^ abord, comme exemple de la théorie précédente, une parabole quelconques^ = pafj m et n étant positifs. Soit aire OMP= u; on a

d'où

da=ixdx = p X dxy

U=z I Ydxz= p"

Ce résultat peut s'écrire

U z=z p X X =r — xr.

Or, sy représente Taire du rectangle OPMQ construit

sur les coordonnées du point M.

On a donc

Fig. 78.

OMP : OPMQ = /f : [/w 4- /ï),

OMP : OMQ = n\m.

Ainsi, la parabole partagele rectangle OPMQ dans le rapport constant de min.

401. Réciproquement, il n'y a que les paraboles qui jouissent de celte propriété. En effet, la proportion précédente peut s'écrire

d'or

u \[xy — a) zzr /i: /II,

(m 4- /ï) il =r nxy.

Par conséquent, on doit avoir

\^m '\' n) du^=inx dy '\- ny dx^

4oo COURS d'ahaltse.

ou, puisque du =j^djr,

[m H- n)ydx ^=znxdy -^ny dlr,

ou enfin

my dx z=znx dy.

Ce résultat peut se mettre sous la forme

d.T dr

m — z=zn -^:

d^ou, en intégrant,

n\yz=^m\x-i-Q ou Ij* = 1 j?" -h C.

Mettant C sous la forme 1/7, il vient, pour Téquation

générale des courbes qui possèdent la propriété dont il

s'agit,

\jr^ •=. \px^,

y*^ .z=px^.

Dans le cas de la parabole ordinaire jr* = px^ on a n = a, m = i,el, par suite,

« = I xy.

402. Considérons, en second lieu, une courbe du genre p. ^ /^/7er6o/e donnée par l'équation

jry*=^p,

m et n étant deux nombres entiers positifs. On n*a représenté

dans la fisure que la branche

située dans Tangle j^Ojr, et qui

a pour asymptotes les deux axes.

Supposons n plus grand que m. Soient u =ÂCMP3

OA=a, OP = jr. Ona

u= f ydjc= f p"^ "dx,

Ja Ja

TREKTE-TROISIÈHE LEÇON. 4^1

et, en effectuant Fintégration,

On voit que si x augmente jusqu'à Finfini, l'aire ACMP augmente aussi jusqu'à Tinfini. Mais, au contraire, si, laissant MP fixe, on fait décroître a jusqu'à o, la surface augmente continuellement, mais en restant toujours finie, et, à la limite, quand a = o, cette aire se réduit à

Ainsi la surface ACGH tend vers une limite finie, à mesure que le point G se rapproche de plus en plus de Tasymptote O^.

Cette limite, ésale à p^ x x "ou bien à

oy, est dans le rapport constant de n à n — m

avec le rectangle OPMQ = xy. On a donc la proportion

a\xy 1=^ n\[n — m]y

en désignant par u une aire qui s'étend indéfiniment, tout en ayant une grandeur finie.

403. Réciproquement, il n'y a que les courbes comprises dans l'équation oc^y^zzzp qui jouissent de celte propriété. En effet, on déduit de la proportion précédente

u[n — m) = nscy^

d'où

(« — m) du ^=^ nx dy -\- ny dx.

Comme du=ydx^ il vient, en réduisant et divisant par xjr,

dx dy

Stcbm. — j4n.^ I. 26

4o2 COURS d'analyse.

Donc, en intégrant,

ou bien, en faisant C = Ip,

d'où

af'j^zzz p.

Dans le cas particulier où m = n, Téquaiion

jo^jr^ z=zp revient à la suivante

qui représente une hyperbole équilatère du second degré. Ou aura

r=:-5 donc ydx=zp — >

et, par suite,

uz=p\x -4- C=/?l -

Si ;> = I , a = I , on aura

u = lar,

c'est-à-dire que Taire est égale au logarithme népérien de l'abscisse (2H , a^).