Soit maintenant le cercle^ dont l'équation est

jï -f- x* =: a* ;

on en tire

Fie. 80.

jf z= ^à' — x^.

Considérons un segment quelconque COPM, limité à Taxe des Y<i et à une ordonnée arbitraire MP. Nous aurons, en désignant par u l'aire de ce segment,

' dxy^cû — x'j o

TKEIfTB-TROISIÈME LEÇON. 4^3

en intégrant par parties, il vient

(2) IVIais

/dxsla^ — ar-' = xJa} — jc* -h / — J )/a' - ^»

(o:^ — û>-+-fl^)é/j?

^a' — X* Jsla^-^x^ J

PorUnt cette valeur dans Téquation (a) , transposant et divisant par 2, il viendra

Mais

J 2 ^Jslà' — x^

donc

arc sin ~ 4- C J a

u=rdxsf^—7'=.*j^^

H arcsm -•

On déduit de là Taire du secteur COM. En effet, le triangle OMP a pour mesure^ ^ \ en le retran-

chant du segment, on aura donc

secteur OGM = — arcsm - = - a arcsm - =: - arc CM,

2 ai ai

c est-à-dîre que faire du secteur circulaire a pour mesure le produit de Varc qui lui sert de base multiplié par la moitié du rayon.

4r(fô, Passons à Vellipse, dont l'équation est

4o4 COUKS d'ànâltsb.

et soît u le segment OPMB, limité à Taxe des j et à une

ordonnée quelconque MP. On tire de i'équalîon de lellipse

Donc,

^ Jo

Décrivons sur Taxe aa comme diamètre une demi-circonférence, et soit u' Taire du segment COPN : on a

Jo

d'où l'on déduit

Ainsi le segment elliptique et le segment circulaire^ qui correspondent à la même abscisse, sont entre eux dans le rapport constant deb à a. Il en résulte que si Ton désigne par S la surface entière de Tellipse, et par S' la surface du cercle, on aura

S:S'^b:ay d'où l'on tire, à cause de S' = Tra*,

donc la surface de V ellipse est moyenne proportionnelle eutre les surfaces des deux cercles qui ont pour diamètres respectifs les axes de V ellipse,

406. Les deux triangles OMP, ONP, qui ont même base OP, sont entre eux comme leurs hauteurs. Donc

OMP MP b OWP"~ NP"" tf'

TKENTE-TROTSIÈME LEÇON.

et comme, d'ailleurs,

on aura

il' a

Il — OMP b

ou

a' — ONP a

OBM b

OCN a

ce qui permettra d'évaluer le secteur elliptique OBM, puisque l'aire du secteur circulaire OCJN est connue. On passera de^là facilement à Taire d'un secteur quelconque. On peut diviser Tellipse en un certain nombre de secleurs équivalents, quand on sait faire la même opération pour le cercle. Il suffit de diviser le cercle en parties égales, puis de mener, par les points de division, des perpendiculaires à OA. Si Ton joint le centre aux points où ces ordonnées rencontrent l'ellipse, on aura divisé cette courbe en secteurs équivalents.