Pour Vhyperbole, dont l'équation est Fig

Taire du segment AMP est donnée par la formule

^ Ja

En intégrant par parties, on a

i/x* — a^dx = xsJx^ — a^ — 1 ^*

Mais

/x^dx __ /

sjx'* — a'

J Jsjx^-^a^

et (347, i«)

COURS D ANILTSB.

sla^^ à"

=z:l(x-f-Vjr' — û') -4-C;

on a donc

p*v^ïï3r^«==^^^^^^-^i(x-

d'où

AMP

bx slx^ — a} ah . [ X -^ y/x' — a' 2.a 2 \ a

408. Gomme dernière application, considérons la Fig. 83. cycloïde AMD engendrée par le

mouvement du cercle ANB roulant sur la droite BD. Prenons pour origine des coordonnées le sommet A, et pour axes la normale et la tangente à la courbe en ce point. L'équation difiTérentielle de la cycloïde est alors

dxz=djr^—

On aura donc

aireAMP= / jrdx=: f dxsJiajr—jrK i/o Jo

Menons MQ perpendiculaire à AB, et soit AQN le segment déterminé par MQ dans le cercle ANB. En observaut que QN = ^ao/ — j% nous avons

5egm.AQN= I dy^iiaj — /*,

donc

AMP = segm.ANQ.

TRBI^TE-TKOISIÈME LEÇON. 407

Si Ton fait x = ira, et, par conséquent, yz=i'Aa^ on aura

TTfl'

ADG =

Retrancliant cette aire de Taire a ira* du rectangle A6DG, et doublant, on aura

2 aire AMDB = Swa» ;

cVst-à-dîre que Vaire comprise entre la cycloïde et sa base est égale à trois fois Vaire du cercle générateur.