Si u désigne Taire du secteur COM, on aura

Fig. 84. I

r et 9 étant les coordonnées po- T laîres du point M 5 par suite,

«=ljr.rf9.

cette intégrale ayant pour limites les valeurs de Q qui cor^ respondent aux points C et M.

-410. Soit comme application la spirale logarithmique^ dont r équation est

r^aé^^x

ou aura

Posons OC = r', et faisons dans la formule r=r'j il vient

4o8 GO LUS d'anai.yse.

par suite,

4/ïi ^

Si le point C se meut en rétrogradant sur la courbe, le rayon vecteur OC décroit jusqu'à o, et Taire du secteur

tend vers la limite 7 — •

qm

411. La quadrature des aires curvilignes est quelque- Fig. 86. fois rendue plus facile par rem-

ploi des coordonnées polaires.

A^M Pour en donner un exemple,

soitlacourbequi apour équation

(i) x^-hy—axx = o.

Cette courbe, connue sous le nom de folium de Des-cartes, se compose de deux branches infinies qui se traversent mutuellement à l'origine, et qui ont pour asymptote commune la droite dont l'équation est

Avec les coordonnées primitives, la question qui nous occupe exige la résolution d'une équation du troisième degré; mais si Ton prend Téquation polaire de la courbe, en plaçant le pôle au point O, on n'aura jamais qu'une seule valeur du rayon vecteur pour une direction donnée; car l'origine étant un point double, l'équation devra être satisfaite pour deux valeurs nulles de r. et, par conséquent, le premier membre sera divisible par r*.

Si l'on prend O jt pour axe polaire, il faudra remplacer X par rcosd et y par rsind dans l'équation (1) , ce qui donnera

r* (cos*6 -h sin*ô) — ar'sinOcosO = o,

TEENTE-TROISlfeME LEÇON. 4^9

on bien, en supprimant le facteur r' et résolvant par rapport à r,

sin-* ô -H ces* 6 D'ailleurs, u désignant Taire du segment OAM, on a

Donc, en remplaçant r par sa valeur, nous aurons

" ^J^ (cos'ô-h sin'O)* '

ou bien

/^ dO

(14- tangué)»'

Pour trouver cetle intégrale, posons

dO I -h lang*Ô =: 2, d*où i2s = 3tang'G 9

cos'ô

et, par suite,

taog^ 0

(i -t- iang*ô

cns'-'Ô 1 rdz I

Qg*ô/"~" 3 J '?'^'~ "32

. 3(n-tang'6) En reportant cette valeur dans u, on a

tf = — -^ . -h C.

0 I -t- tang* 0

La constante G devant être déterminée de manière que Taire soit nulle pour 6 := o, on a C = -7- : par suite,

a= -rr

6 I -t- tang* Ô

4io COURS d'aitalyse.

On obtiendra Taire de la feuille entière, en faisant

0 = - dans la valeur de u^ qui devient alors -^ ; car la

fraction —i que ion peut écrire rr? €5st