RECTIFICATION DE LA PARABOLE

413. Si, par exemple, nous voulons trouver la longueur d'un arc de la parabole dont Téquation est

il faudra, dans la formule £^5 = \/rfx*4-^7% où nous supposerons x fonction de y^ remplacer dx par sa valeur tirée de l'équation différentielle

Xdy^pdx^ ce qui donnera

4l2 COURS d'analyse.

Nous avons donc, si l'arc doit commencer au sommet de la courbe,

PJo

En intégrant par parties, il vient

J J^X'-rP*

mais on a

Par conséquent, en substituant et transposant.

Or (347, lO)

J ^jr' -t- A»'

donc

L'intégrale devant s'annuler pour^ = o, on aura o — fL\p-^C, d'où C = — ^1/?;

en substituant cette valeur dans la formule, il vient

RECTIFICATION DE l'eLLIPSE.

414. Considérons l'arc d'ellipse BM^ compté à partir du sommet B du petit axe (Jig' 84» n^ 40o).

TRENTE-QUATRIÈME LEÇON. J\l3

De Téquation de la courbe on tire on aura donc

/ h^ / b*x^ dszzz dx\ / i-\ =1 dxK / i A — »

OU bien

ds = iixi/ —

Posons pour simplifier ^a* — A* = ai?, e désignant l'excentricité, c*est-à-dire le rapport de la distance focale au grand axe : il vient

ds = dx\/ -

Comme x varie entre o et a, on aura toutes les valeurs

de X en faisant

X = a$in7,

, ir .,

Tangle ^ variant de o à - : il en résulte

ds::^adffQO%f^y —^ =ad^yl

1 — tf'sin'f.

Nous aurons donc enfin

s z^ arc BM = « / ^f ^i — tf'sin'y.

415. Li'intégrale / d<f yji — «' sîn* ç) est une fonction transcendante dont la valeur ne peut être obtenue que

4l4 COURS D*AirALTSF..

par un développement en série. La formule du binÀme donne