Quand on a

y étant elle-même une fonction de Xyf[x)^ on dit que u est une Jonction de Jonction de x.

Pour obtenir la dérivée de u par rapport à x, on pourrait remplacer jr par J(x) dans © (y), ce qui donnerait

mais il est possible d'éviter celte substitution. En effet, on a Téquation identique

àx ^y Ax

26 COURS D\^ALYSE.

dans laquelle A.r élanl raccroissemenl de la variable indépendante, £iy et Au sont les accroissements correspondants de y et de u. Si Ton suppose que Ax diminue indéfiniment, Tégalité ayant toujours lieu subsistera encore

à la limite. Or lim — > c'est la dérivée de u par rapporta

r/« ,. Ar rt I \ • I !• • j -^'^ > .

X ou - , lim— =J' (x) \ quant a la limite de — » c est

9' (y) ^^ '* dérivée de (p (j) dans laquelle y serait considérée comme variable indépendante, car cette limite ne dépend pas de la relation qui existe entre y et x, et il suffit, pour qu'on Toblienne, que Aj^ décroisse jusqu à zéro. Donc

Ainsi la déiivée d* une fonction de fonction est égale au produit des dénuées de ces fonctions .

dr