Le volume engendré par l'aire CMM'C est la
différence des volumes engendrés par les aires CMPA et C'M'PA.
Alors^ en désignant MP par/ et M'Ppar j^', on a
Fig. 89.
ou bien
y = n C{x'-y')dx.
CUBATURE DE l'eLLIPSOÏDE DB RÉVOLUTIOUT.
423. Soit V le volume engendré par la révolution d'une pj- go, portion AMP d'ellipse tournant
autour du grand axe. L'équation M de Tellipse rapportée à son axe
et à la tangente au sommet est
" ' >-»= — (aux — jr>):
par suite,
Si l'un fait a;=: aa, on aura le volume de l'ellipsoïde
TREIITE-CINQUIÈME LEÇON. /yil
entier, «avoir
Pour obtenir le volume engeudré par la demi-ellipse tournant autour du petit axe, il faudra changer & en a
et a en 5, ce qui donnera ^Tra'i : on voit que ce volume est plus grand que le premier.
En faisant &== a dans ces formules, on trouve -tt a'
pour le volume de la sphère, et -^ — — pour le vo-
lume d'un segment spbérique à une base.
VOLUME ElfGEADRÉ FAR LÀ RÉVOLUTIOS d'uDTE CYCLOÏDE.
424. Prenons pour axe la tangente au sommet et la ^•c-9ï- normale en ce point. Soit V le
volume du solide engendré par le segment AMP tournant autour de Taxe Ax.
L'équation différentielle de la cycloïde étant (408)
on aura
ce qu'on peut écrire
La première intégrale représente la surface du segment AQN (408) . Pour obtenir la seconde, posons aaj- — j* = «,
422 COURS D 4NALYSR.
d'où a ( a — j) dy = dz: nous aurons
/(« — /) dysJ7,ay — y — j ^ ^ = Ij z' dz = ^ ;
et, par suite,
Le volume engendré par AQM tournant autour de Ax s'obtiendra en calculant la difierence des volumes engendrés par le rectangle APMQ et par la portion de surface AMP.
Fig. 92.
VOLUMES QUI PEUVENT S OBTENIR PAR l M-: Siri.F
INTÉGRATIOir.
425. On peut encore, par une seule intégration, obtenir le volume d'un corps lorsque Taire de la section faite dans ce corps par un plan parallèle au plan yOz est une fonction connue de la distance de ces deux plans.
Supposons d'abord les axes rectangulaires : soient u et u+Afi les sections faites dans le corps par deux plaus P
et P% parallèles au plan j'Ozj et dont les distances à ce dernier sont respectivement .r et X -h Ax. L'accroissement AV du volume correspondante l'accroissement Ax de Tabscisse sera compris entre les cylindres droits qui auraient pour bases respectives u et u + A </ et Ax pour hauteur^ c'est-à-dire que Ton a, en supposant Ail positif,
d'où
«< — "CTa-hAa.
Aor
Or, à la limite, Au est nul ^ on a donc
——zzr.U^ OU dY := Uax.
Celte démonstration suppose que les deux cylindres ne se coupent pas. Si ces deux cylindres se coupent, ils ont une partie commune qui a pour base u — a, a étant une quantité très-petite, et qui s^évanouit en même temps que Ax. De même, cette partie commune, augmentée des parties excédantes de part et d'autre, forme un cylindre qui a pour base zi + S, 6 s^évanouissant avec Ax. Or AV est évidemment compris entre ces deux quanti tés : par suite
AV A.r
et en passant à la limite,
— = u, ou d\ 1^ udx.
dx
Le volume compris entre deux plans parallèles iyOz menés à des distances a et i s'obtiendra donc par la formule
V=n r udx.
Pour obtenir le volume du corps entier, il faudra mener des plans tangents parallèles à yOz^ et prendre pour limites de Tintégration les distances de ces plans au plan
426. Supposons maintenant que l'axe Ox ne soit plus perpendiculaire au plan des sections. En comparant le volume compris entre deux plans parallèles à jOz et la surface, avec un cylindre oblique qui a pour base u et pour hauteur la distance des deux plans représentée par ^sinX. ^ étant l'angle que fait le plan xy avec Taxe Ox, on a
<fV=tt^sin>., d*où V = sinXitf^ar.
= sinX I tf(
On démontrerait facilement cette formule avec la même rigueur que la précédente, mais nous croyons inutile de nous y arrêter.
427. Soit, par exemple, un cône à base quelconque : Fig. 93. prenons pour axe des x la per-
pendiculaire OC, abaissée du sommet sur la base, et pour plan des jz un plan mené par le sommet parallèlement au plan de la base ; appelons h la hauteur du cône et b sa base. En menant à une distance OP= x un plan parallèle âj^O^, Taire de la section sera, diaprés
un théorème connu, u = -r- • Donc
bh
et en faisant x = A, on a, pour le volume du cône, —
428. Soit encore un ellipsoïde rapporté à ses axes principaux.
La section GPH faite dans l'ellipsoïde par un plan paral- Fig. 94. lèle au plan j^O^, mené a la dis-
tance OP = X, a pour équation
y.2 2} ar
On aura, pour ses demi-axes, en faisant successivementjs = o,
GP
PH
TRENTE- CINQUIÈME LEÇOIT. 4^5
De sorte que l'aire de la section est
d'où l'on déduit pour le volume Y du segment compris entre les plans jOz et GPH,
Pour obtenir le volume de la moitié de l'ellipsoïde, on fait, dans la formule précédente^ x = a, et il vient
Le volume entier de rellipsoïde sera donc exprimé par ^7: abc.
429. Considérons maintenant un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués obliques. Son équation est de la forme
La section faite par un plan parallèle kyOz^ k une distance égale à x, est une ellipse ayant pour équation
et les demi-diamètres conjugués auxquels elle est rapportée
ont pour longueurs — \Ja' * — x*, -7 ^a' - — x' ; donc, en
désignant par 9 Tangle que font entre eux ces diamètres, on aura pour la surface de la section considérée
tf = — -— (a*— j:')sine.
Par suite, on aura pour le volume du segment d'ellip"
couns d'à
solde
ir^'c'sinGsînX
Wx
et pour rellipsoïde etiiier
^ fra'&VsînOsîn>.
430. En comparant cette expression du volume de Tellîpsoïde à celle qu'on a obtenue précédemment, on trouve
a'6'r'sinOsin). z=abcy
équation qui démontre que tous les parai lélipipèdes construits sur les diamètres conjugués d'un ellipsoïde sont équivalents au parallélipipède rectangle construit sur les axes. On en déduit aussi
If abc r^ na'&VsinOsioX,
c'est-à-dire que tous les cylindres circonscrits à Tellipsoïde et dont les bases sont parallèles aux plans des courbes de contact sont équivalents entre eux.
