VOLUMES TERMINÉS PAR DIVERSES SURFACES

431 « Imaginons maintenant une surface quelconque ï^iB- 9^- CDEF dont Téquation soit

F (x, jr, z) z=z o.

Supposons que deux plans parallèles à yOz^ menés 'aux distances OA=fl, OB = i, coupent la surface suivant les courbes CD et EF. imaginons encore deux cylindres droits

TKBNTE-CINQUIËUE LEÇON. 4 '-^7

ayant pour bases, sur le plan yOx^ les courbes RV et ST et coupant la surface suivant les courbes CF et DE. Ou pourrait se proposer de trouver le volume DCFERVTS, mais il vaut mieux rendre la question plus générale en considérant une seconde surface C'D^E'F', dont Téquatîon est

et chercher le volume CDEFC'D'E'F'.

Pour cela^ menons à une distance arbitraire x = OQ, comprise entre a et &, un plan parallèle à yOz^ et déterminons l'aire de la section GHH'G'. Or cette aire plane est comprise entre deux courbes dont les équations

s'obtiennent en faisant, dans celles des deux surfaces, la variable x égale à la constante OQ. Elle aura pour différentielle [z — *i) ^j ^ et Zi étant, d'après les équations (i), des fonctions de y correspondantes à une même valeur de cette variable. On aura donc, en intégrant entre les limitesj^ et^j,

aireGHG'H'— f *(« — z.)rfr.

Ainsi z — Zi étant une fonction dej^ dans laquelle x entre comme constante, on trouvera pour Tinlégrale indéfinie

(8~a,)ûf/ = ir(jr, j^) -h C.

On fera, dans celte fonction, j^ == (j> (x) et j' = ({^ [x) successivement, X étant regardée comme constante, d'où Ton déduira

(z — «,) flfj = aire GH H' G' = ir [x, >p («r)] — w [x, ç(x)], P(*)

résultat qui ne dépend que de x.

428 COURS d\nàltse.

En regardant de nouveau x comme variable, on aura pour le volume demandé

J7r[x,^I;(j:)]— 7r[x,«p(x)]jï/x= I dx I (z—Zt)ify.

432. Lorsque les deux surfaces cylindriques se réduisent à des plans parallèles à z Ojr^ cp (x) et 1/; (x) ne sont plus que des constantes c et e, indépendantes de la valeur OQ de X, et la formule se réduit à

I dx I {z-z,)dy.

433. Si la surface inférieure se confond avec le planx^, on aura Zt == o, et

dx / Zdf,

pour le volume compris entre une surface quelconque, le plan xj'y deux cylindres parallèles à Taxe des z et deux plans parallèles au plan zOy,

434. Ce qui précède peut servir à déterminer le volume d'un corps quelconque terminé de tous côté^ par une surface dont Téquation F (x, j^, z) =:= o est connue.

Imaginons un cylindre circonscrit à la surface, parallèlement à Taxe des z\ comme en chaque point (x,/, z) de la courbe de contact le plan tangent

^I(X-x)-4-^(Y-j) + ^(Z-z)=o dx ^ ' dy ^ "^ ' dz ^ '

est vertical, on a

dFix.-y.z)

dz

L'élimination de z^ entre cette équation et celle de la surface, donne une équation

TRENTE-CIHQVIÈME LEÇON. 4^9

qui représente la trace du cylindre sur le plan ocy. Cette Fig. 96. courbe est, par hypothèse , une

courbe fermée, et, en la coupant par un plan parallèle ày Oz, on aura deux ordonnées JK ='- 9 [x) et Yi = Çi (x) représentées sur la figure par QI, QK, et analogues aux lignes de même nom dans la question précédente.

De même, ce plan sécant déterminera dans la surface une courbe fermée, et si 2 = MP, Zi = M'P sont les deux valeurs de z correspondant à la valeur y = PQ, l'aire de cette section sera exprimée par

Si maintenant on désigne par a et b les distances du jilanjrOz aux plans tangents à la surface, qui lui sont parallèles, on aura pour le volume du corps

EXERCICES

i. La sphère ar'-h^*-i-z'= r* est percée à jour par les deux

cylindres

Le volume du solide sphérique non enlevé est égal à — r'.

2. Calculer le volume compris entre le plan xy et les surfaces représentées par les équations

{.T^^V , (r~P)» xy

Solution.

iznhoL^

43o COURS d'analyse.