DES INTÉGRALES DOUBLES

435. Toute expression où il entre deux intégrales relatives à des variables dilFérentes, comme celles que nous avons obtenues à la fin de la dernière Leçon, est ce que l'on appelle une intégrale double.

Une intégrale double est définie lorsqu*on assigne les limites des deux intégrations. Elle est indéfinie dans le cas contraire, et on la représente alors simplement par

zdxdy.

dx I zdy est la li-

mite de la somme de tous les produits de la forme z ùkxùy entre les limites des deux intégrations.

En effet, i js ^ est Tintcgrale définie de z dy

prise entre les limites ^[x) et ^ (x) de^, x étant regardée comme constante : on a donc (375)

zdjr = lim > (^A^)-

Par conséquent, en multipliant par Ax et faisant varier X depuis X = a jusqu'à x = &, il vient

Joi

TBENTB- SIXIEME LEÇON. 4^1

Or, si les valeurs de x se rapprochent de plus en plus, on a

lim > I A* / zdjr \ = I dx I zdjr;

d'un autre côté, x étant regardée comme constante, dans ^{z^jr), on a

ou bien

lim^ àx\iia'^(zàx) \z=\im^'^(zàx^'r)^

Donc enfin

f ^^ j zdy = \\nï^^(z^x^x),

ce qu'il fallait démontrer.

437. On peut d'ailleurs démontrer ce tliéorème par des considérations géométriques. Soit

2 = F(x, jr)

l'équation d'une surface : l'intégrale double

a Jff (af)

zdy

représente, comme on Ta vu au n** 433, le volume V compris entre cette surface, le plan xy^ deux cylindres parallèles à Taxe des z et deux plans parallèles au plan

Soient M et M' deux points voisins quelconques sur la surface. Construisons le rectangle ^p' dont les côtés parallèles aux axes Ox et Oy soient conduits par les points P et P', pieds des parallèles à l'axe des z menées

par les points Met M ^ Les plans MPp^ mpV\ M'P'p'et

rrlpfV coupent la surface suivant un quadrilatère courbe MM' : le volume V es t la somme des solides analogues à MP', terminés aux limitesconvenables.SoitMP=z, et soient z — a la plus petite, et z + 6 la plus grande distance des points de la surface au plan

3cy dans toute Tétendue du quadrilatère courbe MM'. Le volume MP', que nous désignerons par AV, est

compris entre deux parallélipipèdes rectangles ajantpour

base commune Pp' et respectivement pour hauteurs z — a

et z + 6', comme d'ailleurs le rectangle Vp' = Ax A/,

on aura

[z — a) àx Aj < AV < (« -h 6) Ax A/,

Mais a et S s'annulant avec Ax et A^, on a

lim = s.

àxàjr

Par conséquent.

7| devenant nul en même temps que Ao? et Ay,

Pour chaque valeur de a: et de Ax, on a une infinité de valeurs de ùy qui produisent dans le solide une tranche, dont le volume sera représenté par

2 [zAxAr(i -+-!,)].

Puis en faisant varier x, c'est-à-dire en prenant les autres valeurs de Ax, on a une suite de tranches dont la somme donne, quand on passe à la limite, le volume V, et par

TRENTE-SIXIEME LBÇOff. 433

conséquent,

V = \im^[z^xàjr{i -h n )].

Mais

En effet, en supposant tous les points M, M', etc., assez rapprochés les uns des autres, on pourra toujours faire en sorte <jue pour chacun d'eux on ait y3 <[ e, e étant une constante arbitraire que Ton peut supposer aussi petite que Ton veut. Par conséquent,

Or cette dernière quantité est nulle à la limite, puisque e peut être pris aussi petit que Ton veut, et que d'ailleurs

y y [zâkxAjr) a une valeur finie. Donc enfin

I dx I «rfj? == Iini> > («AxA/).

ihtégrales triples.

438. Soit \J =/{Xyy^ z) une fonction de trois variables indépendantes x, j^, z.

Si Ton intègre la différentielle \]dz par rapport à z, c'est-à-dire en regardant x et y comme des constantes, et si l'on fait varier z entre deux limites représentées par deux fonctions de x et de y, savoir f (x,^) et F {x^j)y on aura l'intégrale

Vdz, qui sera une fonction de x et de r.

Stcbm. — jén., I. 28

434 COURS d'aiîaltsb.

Considérons maintenant x comme constante dans la

fonction

dy I Vdz.

Intégrons cette fonction par rapport à ^ en faisant varier y entre denx limites représentées par (f [x) et ^ (x) : on aura l'intégrale

/ djr / Vdz,

Jf(x) •/f(x„

qui sera une fonction de x.

Enfin, si l'on intègre la différentielle

Jj,(x) Jf(x„

par rapport à x, en faisant varier x entre deux limites quelconques a et b, on aura pour résultat

Ja */orx) Jfrx.r^

Cette expression se nomme intégrale triple ; on la représente aussi par

Udxdydz,

Iff'

On concevra de même une intégrale d*un ordre quelconque.

On démontrera encore, dans le cas de Tintégrale triple, que

Ç dx r dx Ç * Vdz = \im^yy^{V^x^x^^)'

La démonstration étant tout à fait semblable a celle que nous avons donnée pour une intégrale double, nous nous dispenserons de la répéter ici.

treute-sixième leçon. ^3S

théorème sur l*ordre des intégrations.

439. Nous avons obtenu précédemment (431), pour Texpressiou du volume compris entre deux surfaces, deux cylindres parallèles à l'axe Oz, et deux plans parallèles au planj'z, Finlégrale double

(z — z,)dy.

Ici Tordre des intégrations n'est pas indifférent. Ainsi l'on n'obtiendrait pas, en général, le résultat cherché par la formule

z, ] dx.

Toutefois, si o [x) et ({/ (x) sont des constantes a' et b'^ c'est-à-dire si les deux cylindres parallèles i Taxe des z se réduisent à deux plans, il sera indifférent de commencer par l'une quelconque des deux intégrations^ car, en répétant les raisonnements du n^ 431, on voit que le volume en question a tout à la fois pour mesure l'une quelconque des expressions

' dx j (z — Zi)dx ou j dx I (z — Zx)dx.

a */ a' % a' Ja

DE l'aire DES SURFACES COURBES.

440. On appelle aire d'une surface courbe , terminée à un contour quelconque, la limite vers laquelle tend l'aire d'une surface polyédrique composée de faces planes, qui, en diminuant toutes indéfiniment, tendent à devenir tangentes à la surface considérée. On suppose d'ailleurs que le contour qui termine la surface polyédrique se rapproche indéEnimeut de celui qui termine la surface courbe.

INous allons d'abord démontrer l'existence de cette limite.

436 COURS D*ANALTSE.

Prenons sur la surface deux points M (jr, y y 2), et M' (x-h Ax,j-h Ay,z-+- A 2). Soient Pet P' leurs proï'ig' 9^» jections sur le plan xOy. For-

mons le rectangle PP' = Ax Aj^ dont les côtés soient parallèles à Ox et à O/, et concevons un prisme indéfini ayant pour base ce rectangle, et dont les arêtes soient perpendiculaires au plan xy. Ce prisme intercepte sur la surface donnée un quadrilatère curviligne MM^ et sur la surface polyédrique une aire («> qui, si elle n'est pas plane^ sera composée de parties planes a, a' ^ a"^ etc.

Or, puisque les plans de toutes ces surfaces tendent indéfiniment à se confondre avec le plan tangent à la surface au point M, si d, B\ Q'\ etc., sont les angles formés par les plans des éléments a, a\ a'', etc., avec le plan xjr^ et si X est l'angle que forme ce dernier plan avec le plan tangent en M, on aura

cosO = cos> ( iH- a) , cosô' =z cosX ( n- a' ), . . . ,

a, a\ etc., désignant des quantités qui s^annulent en même temps que Ax, A/. Mais le rectangle PP' est la somme des projections de tous les triangles dont nous parlons. Donc

^a:^Jrz=zacos^^-hoL)-^a'cos\(l -ha'j -+-«" ces )i(i -+-«") "^ •••> ou

cosX

^ a -+- tf' -f- a" -h . . . H- (ûa -+- a' a' -h a^oT -h

ou, comme a -1- a' 4- a" -h . . . = w,

AxAjr cosX

En opérant de la même manière dans toute l'étendue de la surface, on aura un certain nombre d'équations ana<

logues à celle-ci, et qui, ajoutées membre à membre» donneront Tégalité

Donc

lim^ ^ = lini^» -f- Hm \^(fla -hafa' -h a'^a!' -^.,,).

lîm V (^a-H «'a' 4- a*'a''-f-. . .) = o,

d'après le théorème démontré au n** 16 : donc

'dxdy

cosX

On voit par là que^^j ^^ '^ surface polyédrique, a une limite.