Ainsi, en appelant A Taire de la surface, on a

cosX

Si ;? et ^ sont les dérivées partielles -r^^-j- tirées de l'équation de la surface, on a

cos> =

et il vient

=//,/rT7

A=/ \ sl\-\-p^-^ q'^dxdy.

Si la surface est limitée aux plans x = a^y = 6 et aux cylindres j^ =: (f (x), j^ = ^ (a:), on aura

Az= I dx j dx^/i-hp^-hq^'y

•fa c/ç» (x)

la marche par laquelle on parvient à ces limites est la

438 COURS d\nalysiï.

même que celle que nous avons déjà suivie dans nne antre

question (431).

Kg. 99-

ilRE DES SURFACES DE RÉVOLUTION.

442. L*aire d'une surface de révolution s'obtient par une seule intégration.

Soit GMD une courbe plane qui, par sa révolution autour de l*axe Ox, situé dans son plan, engendre la surface dont on veut avoir Faire. Soit CMM'D un contour polygonal inscrit dans cette courbe. On peut considérer l'aire de la surface comme la limite vers laquelle tend la somme des surfaces des troncs de cônes engendrés par le contour polygonal, lorsque ses côtés décroissent indéfiniment, en même temps que leur nombie augmente jusqu'à l'infini.

Soient

M(x, 7) et W [x -h àx, y -h ày)

deux sommets consécutifs du contour polygonal. La surface décrite par la révolution de MM' a pour mesure

- MM' (cire MP 4- cire M'P') 2 ^

ou

tr(2r4-Aj)Axy/i-^^gy.

Mais comme

il s'ensuit que l'expression de la surface du tronc de cône sera

2JCjr

[v/'-^(iy^»]^"

TKEIITE-SIXIÈME LEÇON. .f'^Q

a désignant une quantité qui s'annule avec Ax, et, par suite, la surface décrite par le contour polygonal aura .pour mesure

En désignant par A la surface cherchée, on aura donc A = lira ^^ f 2irj^i/ I -+- -7-^^^ ) -^ ^itylim ^ («Aj?). Mais lim V (aAx) =0 (16), et

donc

a et b étant les abscisses des extrémités de l'arc CD.

En désignant par 5 un arc compté à partir d'un point fixe, on a

Donc

A:^ 2ir

jrdt.