Une intégrale définie double

dans laquelle P désigne une fonction de x et de y, peut être regardée comme exprimant le volume compris entre le plan des xy et la surface dont l'ordonnée est égale à P, à l'intérieur d'un cylindre parallèle k l'axe des z et ayant pour base la partie Q du plan des xy dans laquelle on fait varier x et ^ pour effectuer la double intégration ; les axes sont supposés rectangulaires. Nous allons chercher ce que devient l'expression de S lorsqu'à X et y on substitue deux variables u et v, dont les valeurs sont données en fonction de x et y. Une simple substitution transforme P en une fonction connue Pi de u et de v ; mais il reste à déterminer l'élément différentiel par lequel P| doit être multiplié dans l'intégrale double.

A une valeur de u correspond une infinité de systèmes de valeurs de x et y, coordonnées d'\in point dont le Heu est une ligne U ; de même , à chaque valeur de ^ correspond une courbe V, et les variables u et i» constituent un système de coordonnées, généralement curvilignes, dans le plan des xy. Donnons k u et k v deux séries de valeurs infiniment rapprochées les unes des autres : les lignes U et V correspondantes forment deux familles de courbes qui divisent le plan des xy en quadrilatères ABCD infiniment petits. On verra, comme au n^ 437, que le volume S est égal à la limite de la somme

TREHTE-SIXIEME LEÇON. 44^

de petits prismes, dont chacun a pour base un quadrilatère tel que ABCD et pour hauteur Tordonnëe d'un des points A, B, C ou D; il s'agit d'évaluer l'aire du quadrilatère ABCD. Ce quadrilatère peut être assimilé à un parallélogramme, parce que la courbure totale de chacun de ses côtés est infiniment petite, et que les côtés opposés ont sensiblement la même direction. Or si trois sommets d'un parallélogramme ont pour coordonnées

l'aire du polygone est égale, comme on sait, à

:^{hk!—kh!).

Soient X et y les coordonnées d'un sommet A dont les coordonnées curvilignes sont u el v\ en passant au sommet B, i/, par exemple, augmentera de du^ tandis que V restera constant-, les coordonnées rectilignes de

B sont donc

dx , dy ,

a? -î — .- du. Y H — ï— du ; du ' -^ du '

celles da sommet C sont, pour une raison semblable,

dx , ^y j

x-h ,- dvj y -f- -'- dv ; dv ^ '^ dv

la formule rappelée tout à l'heure donne

aire ABCD =- (f ^J- - f- i^) dud,,

^du dv dv du/

le signe ±: étant choisi de manière à rendre positif le coefficient de du dv. On aura donc

^'//^'•■(SS-iES)''"*.

et Ton donnera à u et p toutes les valeurs comprises dans le champ d'intégration û.