DÉRIVÉES ET différentielles DE DIVERS ORDRES. -y--r OU
djreix
, , indique la dérivée par rapport à j*- de la dérivée de u par
rapport à x. De môme -7—-r est la dérivée par rapport à x de la
dérivée de u par rapport à y.
On indique d'une manière semblable le résultat d*un nonobre quelconque de différentiations exécutées dans un certain ordre sur la fonction u,
407 à 109. Théorème sur l'ordre des différentiations. — Le
résultat final de plusieurs différentiations successives est toujours le môme, quel que soit Tordre dans lequel on opère par rapport aux diverses variables.
iiO. Différentielles totales de divers ordres d'une fonction
DE plusieurs variables INDÉPENDANTES. — Soit « UDC fODCtiOD de
trois variables indépendantes x, y^ 2,
du . \ (■)
formule symbolique, dans laquelle il faudra remplacer dt^ par d'à après le développement.
lil. Dérivées partielles des fonctions implicites. — Une
équation /(x,j) — o, entre deux variables x et^, donne
df t , df . j» V ^^^ <^
dx
dH d'f dr d^f (dry dfd^r dx^^ iLxdy dx ^ dy* \dx) ^ dy dx" '
d'où l'on tire -7-^* En dlfférentiant de nouveau, on obtiendra -Ai
dx^ ' IMT
i 12 et 113. Si l'on a une seule équation entre trois variables
en dlfférentiant Téquation (i) par rapport à x, on a / X df dfdz
DES matièhes. 4^9
d'où Ton lire -^ • On a de môme -/- par Téquation
En différentiant Téduation (2) par rapport à x^ on aura rf«/ rf»/ rf3 d\f /dz\^ dfd*z
fltr* dxdz dx dz* \^-*'/ ^ dx*
En différentiant Téquation (2) par rapport à j, ou l'équation (3) par rapport à x, on trouve également
d^f d^f dz d^f dz d^fdz dz df d^z
dxdjr d/dzdx ' dxdzdf dz* d.c df dzdxdy
dou , , > etc.
dxdy
