FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES; ÉLIMINATION

DBS PONCTIONS ARBITRAIRES.

114-115. ÉLIMINATION DES CONSTANTES. — Étant douDÔes n équations qui renferment une variable indépendante x, n fonctions inconnues de celte variable et /i +/> constantes arbitraires, on peut éliminer ces constantes entre les équations données et celles qu'on en déduit en les différentiant un nombre suffisant de fois par rapport à x : on obtient n équations différentielles simultanées.

L'élimination de G et Ci entre une équation

/(j:,jr, :;, C, Cl) =^0

et les équations dérivées par rapport à .r et ^ donne une équation aux dérivées partielles, moins générale que l'équation proposée.

il6. ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. — Soit

ç(ai, ai, ...,a„) -^o

une équation dont le premier membre est une fonction arbitraire des n quantités ai, aj, . . . , a^ qui sont des fonctions connues d'une

46o TABLE ANALYTIQUE

quantité inconnue z et de n variables indépendantes ^i, xj, . . . , x»; on peut éliminer (p^^, Ta,* - • • entre les équations obtenues en différentiant la proposée par rapport à Xf, xt, ..., x»; le résultat constitue une équation aux dérivées partielles, linéaire et du premier ordre.

117. On trouve encore une équation du premier ordre, mais non linéaire, en éliminant a et la fonction ^ entre les équations

f[x,x, s, a, o(rt)] = G, ^ = o

et les équations dérivées de la première.

118. D'une manière générale, on peut, à l'aide d'un nombre suffisant de différentiations, éliminer tant de fonctions arbitraires que Ton veut.

119. Changement des variables indépendantes. — Soit uune fonction de x, j, «, si l'on donne x, y, z en fonction de 5, tj, Ç, on aura, entre les anciennes et les nouvelles dérivées de tf,

du __ du dx du df du dz ^'^ d^~'dldl'^lÇ^dl^'dzd\ ®^^"

du ^ du d\ du di] du dT^ dx d\ dt (It) dx dl^ dx