Soit maintenant on a

donc

Ainsi la dîferentielle du pioduit de trois fonctions s* obtient en multipliant la dijjèrentielle de chaque Jonction par le produit des autres Jonctions , et ajoutant les résultats.

Cette règle est générale. Ainsi Ton aura

d[uvz...t) z=.rz...tdu -t- ttz.,.tdv ^ //«•.. tdz-i-...-^ttv...di

OU, en divisant par uuz . . . f ,

d^. upz. . . t) du dv t.z </.'

ttl^. . .t u p ' z t

On démontrera cette formule, soit directement, soit en faisant voir que si elle est vraie pour un certain nombre de facteurs, elle aura encore lieu quand on prendra un facteur de plus.

DIFFÉRENTIELLE d'l'A' Qt'OTIEAT.

38. La dillércntielle du quotient de deux fonctions se déduit facilement de la diflerenlielle d'un produit. Soit

TROISIÈME LEÇON. 3t

on en tire

et, par suite,

vdjr -\- ydv m du.

On remplace y par sa valeur - et Ton obtient

d'où Ton tire

vdy H dç = du;

, il vdu — u dv dy ou </-= ,

Ainsi la différentielle (Tun quotient est égale au dénominateiir multiplié par la différentielle du numérateur, moins le numérateur multiplié par la différentielle du dénominateur^ le tout di\fisé par le carré du dénominateur.

On arrive encore à ce résultat par une méthode plus directe. On a

^jr —

vùiu — it^v

Ar = — ; >

et, par conséquent,

Ly ùijc âix

Ax v[v -{- Ai») '

passant à la limite^

du fiv

dy djr n.r

di"^ V^ '

OU enfin

u vdit — iffh dy ou d - =z ; •

Si le numérateur u était constant, la différentielle d se réduirait a :-•

Sa COVliS D ANALYSE.

DIFFÉRENTIELLE d'uNE PUISSAIVCE.

39. Soit y = u"*, m étant un nombre entier et positif: nous avons vu (37) que

d{^uvz, . ,i) m vz. . .tdu -+■ uz. . .tdt^ -4-. . . -h tivz. . ,dt.

Supposons que les facteurs u^ ^, 2,. . ., t aix nombre de m deviennent tous égaux; on aura

d. U*" zrz f/iU"^* du.

Ce résultat est aussi une conséquence immédiate de la rèele des ionctions de fonctions. On sait que si Ton a

^ — v(«) et U-:/{x)y

on aura

dxz=if' {u)dui

donc, puisque

d,af"= fnx"*''* dXf

on aura aussi

d. u*** := mti^~^ du.

Voici euGu une troisième méihode. Donnons à a: un accroissement quelconque Ax et soit U ce que devient u \ nous aurons

et, à cause de j^ = a'", A^^U* — a-=(U-- «){U'"-'-f-U"— '«•4-. . .-4- «"•-'),

d'où

Ax Ax ^ '

Si l'on passe à la limite, U se confondant alors avec u,

on a

dr du

— = -— X niu"*^^ ou dr = mu"^^ du.

fix dx