DROITES ET SURFACE POLAIRES

8*. Soit (i) (X — a?) cosa -4- (Y —jr) cos p + (Z — «) cos^ = o l'équation du plan normal au point quelconque M de la courbe;

PREMIÈRE LEÇON COMPLÉHElf TAIRE. 3 29

si Ton désigne le premier membre par Y, Téquatioii du plan normal an point voisin M', tel que MM'=: Ai, pourra s'écrire

(a) V-hAV = V-f-^^-heW=o,

\£ s'annnlant vers Aj. L'intersection des deux plans normaux est /représentée par les équations (i) et (a); dans la seconde, on peut supprimer Y et diviser par £ls. Si alors on suppose que as tende vers zéro, e s'annule et l'on voit que l'intersection du plan normal en M avec le plan normal infiniment voisin est une droite D définie par les équations

la seconde s'obtient en différentiant le premier membre de l'équation (1), tenant compte du premier groupe des équations de Serret et observant que X, Y, Z ne dépendent pas de x; on trouve

-7- = ces/ -h — C08/7I

as p p

H COS/î — COS«a — COS" P — COS* Y-

La droite D peut donc être représentée par l'équation (i) et par l'équation

(3) (X — j:)co8/-4-(Y — j^)cos/n-f-(Z — 2)cos/i — p = o.

L'élimination de X — or entre les équations (i) et (3) donne

(Y — j) (cosa cosm — cosp cos/) -f- (Z — z) (cosacos/i — cos Y cos/) — p cosa = o.

En vertu des relations qui lient les cosinus directeurs de trois droites rectangulaires, le coefficient ài^Y—jr est égal à cosv, celui de Z — z à — cos fi, celui de p à cos m cosv — cos/z cos {a, et l'équation peut s'écrire

Çi—X — pcosm)cosv — (Z — z — pcos/i)cos(i = o.

La forme de cette équation et la symétrie des équations (i) et (3) montrent que la droite D peut être définie par le système des équations

. , . X — X — pcos/ __ Y —y — p cosw Z — z — p cos« , cosX ~ cos(x cosv '

Stqhm. — An., I. 34

53o couEs d'abalyse.

la droite est parallèle à la binormale en M et passe par le centre de courbure correspondant C; c*est Taxe du cercle de courbure; on lui donne aussi le nom de droite polaire.

9*. La droite polaire étant déterminée, on peut chercher ce que devient son point de rencontre avec le plan normal en M' quand MM' tend vers zéro. Nous écrirons l'équation du plan sous la forme

(aM V+^A^^-(^-^-tiJA^« = o,

T| s'annulant avec A^. La valeur commune des fractions (4) représente la distance u da point G au point (X, Y, Z) de la droite D, et l'on a

(6) X = xH-pco8/-4-acosX, etc.

En portant ces valeurs dans Téquation (a bis)^ on forme une

équation en u dont la racine exprime la distance du point G au point

de rencontre de D avec le plan normal en M'; après la substitution,

dW V et -^ s'annulent identiquement, et u est donné par la irans-

formée de l'équation -^-j + 7} = o. Supposons maintenant que

MM' tende vers zéro : on aura simplement -^-jf = o ; on peut

môme remplacer cette équation par celle qu'on obtient en égalant

à zéro la dérivée relative à x du premier membre de l'équation (3),

dV c'est-à-dire de p -^ • On trouve, en ayant égard aux formules de

Serret,

^ ^ / vs/cosa cosX\ , dû

la somme des trois termes analogues à cosa cos/ est nulle; quant à X, Y, Z, on les remplace par leurs valeurs (6), après avoir mis. au lieu de ic, sa limite U; il vient

/ F TT ^ V /cosa cosX\ do

(pcos/-4-UcosA) ( =p j -+■•••■+- j" =o;

si l'on effectue les trois produits qui entrent dans celte équation.

il se fait de nombreases rédactions, parce que le trièdre MTNB est trirectangle, et Ton a simplement

cLs

Les coordonnées da point limite cherché, que je désigne par P, sont

X = x-Hpcos/ dbr^jCOsX,

(7) { Y =^-hpcosm±r^cosfx,

Z = « -h p cos/i =*= '^ j^ cosv.

Désignons par (M) la courbe donnée et par (P) la courbe, lieu des points P; les éléments infinitésimaux des deux lignes aux points qui se correspondent sont liés entre eux d'une manière très simple. Au point M' infiniment voisin de M correspond un point P* infiniment voisin de P, et ayant pour coordonnées X + <;{X, Y + dï^ Z -t- ^; or la première des équations (7) donne

dK = dx-hdp cos/ — pds( q= j

dp ds C09 1 , ^ j dp ds r ds

ou, après des réductions évidentes,

rfX = ± [p hrf.rjf jcosX;

on a de même

rfY=±(py-hrf.rJ)cosi^, dl =±(p-^ -hd.r^j cosv.

On en conclut que la tangente à la ligne (P) au point P est la droite polaire D, et que Tare PP' a pour longueur

532 COURS D'AlfA.LTSE.

Soient JU, ift>, 8, -Ç^, dit, ^ les angles que la tangente et la normale principale à (P) au point P font avec les axes coordonnés, À le rayon de courbure; on peut écrire

C0SJU = C08X, COSlfb = COS{X, COsC = 008 V.

Si Ton différentie, en ayant égard aux formules de Serret, on a, en valeur absolue,

rfS « fltf ,

■^COS< =yCOS/,

dS ^ djt

-5- cos 311 = — cosm,

dS ^ dx

-— cosX = — cos/i;

Sx. r

donc les normales principales à (M) età(P) aux points correspondants sont parallèles, et la torsion de Tare MM' est égale à la courbure de l'arc PF.

Le plan normal à (M) au point M est osculateur à (P), poisqu'fl contient la tangente et la normale principale en P; donc, la binormale à (P) au môme point est parallèle à la tangente MT. On en conclura, par un calcul analogue à celui qui vient d'être fait, que la courbure de Tare MM' est égale à la torsion de Tare PP*.

Les droites polaires étant tangentes à la courbe (P) forment une surface développable dtp^éiée surface polaire de la courbe (M), et dont (P) est Tarète de rebroussement ; cette surface est Fenveloppe des plans normaux è (M), et elle est tangente à chacun de ces plans tout le long d'une des droites polaires.

DEVELOPPEES.

10*. On a vu que le lieu des centres de courbure d* une courbe plane est une ligne, nommée développée, dont toutes les tangentes sont normales à la courbe proposée ; il n'en est plus de môme pour les courbes à double courbure. En effet, les coordonnées du centre de courbure G correspondant au point M sont

X = a: -h p cos/, Y =^ -h p cosm, 1 =z-\- p cos/i,

les cosinus directeurs de la tangente au lieu des centres sont

PREMIÈRE LEÇOKT COMPLÉMENTAIRE. 533

proportionnels à

rfX= dx-i-dpcosl — pds( zf. j = rfpco8/±p~co8X,

dY ^ dp GQsm di p ^ cos jJt,

dl =:dp cos/1 ±p — C08V ;

ils ne peuvent coïncider avec ceux de la droite CM que si r est infini, ce qui n'a pas lieu d'une manière générale, à moins que la courbe donnée ne soit plane.

Il existe pourtant une infinité de lignes, auxquelles on conserve le nom de d^eloppées, et dont toutes les tangentes sont normales à une courbe quelconque donnée (M). Pour nous en rendre compte, par une série de points M, M', M', M', . . . très rapprochés sur la courbe, menons-lui des plans normaux dont les intersections successives sont des droites d, d\ d'^ ... qui auraient pour limites des droites polaires ; sur d^ choisissons arbitrairement un point q^ et menons les droites Mç, M'^ : elles sont normales à (M), puisqu'elles sont dans des plans normaux. La droite M'ç, prolongée au besoin, rencontre d* en un point 9', menons la droite W<j[ : elle est encore normale à (M), et rencontre d^ en un point g". Tirons la droite Wq*, qui sera normale à (M), et continuons la série de constructions que nous avons commencée; nous formerons un polygone qq'^. .., dont tous les côtés sont normaux à (M). Si les points M, M', M", ... se rapprochent indéfiniment, ce polygone aura pour limite une courbe dont les tangentes seront normales à (M); le point q a pour limite un point Q situé sur D dans une position tout à fait arbitraire; il y a donc une infinité de lignes satisfaisant à la condition proposée.

Lorsque les points M, M', M', ... sont infiniment voisins les uns des autres, les longueurs ^M et ^M', q'W et ^'M', q'M' et q'M", ... sont égales, en négligeant des infiniment petits du second ordre, au moins; la ligne polygonale qq'q'^-'q^'*^ sera sensiblement égale à W^^^q^'^^ — lAq, et, à la limite, on aura ce théorème :

Un arc quelconque de développée {sur lequel il n'y a pas de rehroussement) est égal à la différence des longueurs des tan-

gentes menées par ses extrémités jusqu'aux points où elles coupent normalement la courbe donnée,

11*. Nous allons indiquer un procédé simple pour déterminer analytiquement les développées d'une courbe. Le point Q de la développée, qui correspond au point M, est sur la droite polaire D; si Ton désigne par p la longueur GQ, comptée positivement dans le sens de MB, les coordonnées du point Q seront

I\ =a?+pCOS/ -hf'COsXj 7] = j -4- p cosm + p cos (JL, Ç = « -f- p COS/I -h V C08V ;

on en déduit

d^zzzdx-hdp cos/— ptbl qi j-^dv cosX qp p — cosi

= (rfprpp — jcos/ -h Mp± p — jcosX, rfij = (dp zp p — j cosm -h(difdzp-^j cosix,

rfÇ = (rfp:pp— j cos/i -+- (<£c±:p— jcosv.

Pour que la droite MQ soit tangente à la développée, il faut qu'on ait

ou

^rfpzpt»— )cos/-+- ydvT^z p — jcosX

pCOS/H-PCOSX

Itfpqzi' — lC0Sm-+-... xdpZU^V — |C08IIH--.- ~" p cosm -+- p COS |Jl ~" p COS/l -T- p COSv

ax \ ■ ôy Or une fraction de la forme -7 -77- ne peut prendre la môme

valeur pour trois systèmes de valeurs de x et j^ que si Ton a

régalitô des trois rapports (a) exige dono qae Ton ait

j ds j , d$

dp =^9 — aç±ip —

d'où, en réduisant,

pdv — udp dx

if* -h p* ^ r '

Le premier membre est la différentielle de arctang-t qui

mesure l'angle QMG; le second membre est la différentielle de la torsion totale de la eourbe, torsion qu'on sait calculer. Soient 6 la yaleur, choisie arbitrairement, de Fangle GMQ pour un point M« de la courbe, T la torsion totale à partir de Mo; on aura

CMQ = arctang - = 6 ip T,

V = ptang(OqiT);

en portant cette valeur de v dans l'équation (i), on a les coordonnées du point Q en fonction du paramètre qui définit la position du point M; il suffit d'éliminer ce paramètre entre les équa* tiens (i) pour avoir les équations de la développée qui correspond à la valeur adoptée pour 6.

Pour une autre développée, dans laquelle le point correspondant à M serait Qi, on aurait

QiMC=:ei=pT.

Les angles QMG, QiMG étant dans un môme plan, on a

QiMQ = QtMG - QMG « e,- 6;

donc les tangentes menées d'un point quelconque de (M) à deux développées données font entre elles un angle constant,

12*. Les développées d'une courbe sont, en général, des courbes, gauches situées sur la surface polaire, mais elles se transforment en lignes droites quand on applique la surface sur un plan.

Pour le démontrer, considérons les plans normaux à (M) en des points M, M', M', ... très voisins les uns des autres, et leurs intersections successives d, d!, d', ... (iO*); ces droite^ forment

les arêtes d'un polyèdre qui, à la limite, devient la surfoce polaire. Cherchons à appliquer sur un plan n toutes les faces de ce polyèdre et môme leurs plans tout entiers qui, après le rabattement, formeront comme des feuillets superposés. On fera coïncider avec n le plan normal en M, par exemple, puis on rabattra autour de d le plan normal en M'; mais l'arc MM' peut être considéré comme un arc de cercle ayant d pour axe ; après le rabattement, le point M' viendra coïncider avec le point M. Nous devrons ensuite faire tourner le plan normal en M' autour de la droite sur laquelle s*est déjà rabattue d'; cette rotation amènera M' en coïncidence avec M et M', et, en continuant, on verra que, lorsque toutes les faces du polyèdre auront été rabattues sur n, tous les points M, M', M', M**, . . . coïncideront.

Considérons en même temps les droites M 9, M'^ç', Wq*q'. ... qui nous ont conduit (10*) à la notion des développées: après le rabattement, elles passeront toutes par ce point où sont venus H, M', M', ... ; d'ailleurs, chacune d'elles a, avec la suivante, un point commun non situé sur la courbe (M); donc, après le rabats tement, elles ne formeront plus qu'une seule droite, sur laquelle viendront les points q, q\ ç', .... Quand les points M, M', M', . . . seront infiniment voisins, les points g, q\ q", ... auront pour limites les points de la développée, et ceux-ci viendront sur une même droite si l'on applique la surface polaire sur le plan II.

II résulte de là que l'arc QEQ' de développée qui passe par deux points Q, Q' de la surface polaire est plus court que toute autre ligne QHQ' tracée sur la surface entre les mêmes points ; si, en effet, on applique la surface sur un plan, les lignes QEQ', QHQ' changent de forme sans que leurs longueurs soient altérées; or la transformée de QEQ' est une droite, nécessairement plus courte que la transformée de QHQ'.

Une développée étant une ligne de longueur minimum sur la surface polaire, ses plans osculateurs doivent (788) être normaux à la surface; il est facile de vérifier que cette condition est satisfaite. On peut dire (5*) que le plan osculateurà la développée au point Q contient la tangente QM et la tangente infiniment voisine Q'M'; il contient donc le petit arc MM' et, par suite, est perpendiculaire sur le plan normal en M à la ligne (M); or ce plan touche la surface polaire au point Q; le plan osculateur à la développée est donc au même point normal à la surface polaire.

CONTACT d'une LIGNE ET D*UNE SURFACE.

13* Considérons une surface S et une ligne L ayant un point commun M où elles ne présentent aucune singularité. Prenons sur L un arc MM' que nous regarderons comme inGniment petit du premier ordre, et, par le point M', menons diverses droites assujetties à la seule condition de ne pas faire un angle très petit avec le plan tangent à S au point M : chacune de ces droites rencontre la surface en un point infiniment voisin de M'. Je dis que les segments infiniment petits M' M', M'M i , M'M,, . . . , déterminés sur les diverses sécantes, sont du même ordre de grandeur. En effet on a, dans le triangle M'M'M', par exemple,

M'M' sinM'M'iM*'

MM', sinM'M'M;

or ces rapports sont finis, parce que la droite M'M^i , sensiblement parallèle au plan tangent en M, fait avec M' M' et M'M*| des angles qui ne sont voisins ni de zéro, ni de 180**, et dont le sinus est fini.

Cela posé, si les segments M'M', M'M*|, ... sont des infiniment petits de Tordre /i + 1 , on dit que la surface et la ligne données ont, au point M, un contact du r^ ordre.

Rien n'empêche de regarder le segment M' M* comme la difi'érence des ordonnées des deux points où une parallèle à Taxe des z couperait L et S ; ce point de vue établit une analogie complète entre la définition qui vient d'être développée et ceUe qui a été donnée (227) pour le contact de deux lignes planes.

14*. Soient

F(X, Y, Z) = o Téquation de la surface; X, X, z les coordonnées du point M ; x-\- h^X-^ky z-^-l celles de M'; ar4-/i-Ha, /-i-A:-4-p, «-+-/4-Y celles de M'.

Une, au moins, des quantités //, k^ l est infiniment petite du premier ordre, les deux autres pouvant être d'ordre supérieur; de même, une, au moins, des quantités a, p, y ^^^ ^^ (^ "^ 0*^' ordre, les deux autres pouvant être d'ordre supérieur. Le point M' élant sur la surface, on aura

F(jc + //-h a, ^-t-A:-^p, z-4-/-4-y)=o;

d'où

f(j: -+- A, r -H A, « -H/) =— aFi- pF;^— tf;— . . . .

Le second membre est infiniment petit d'ordre n + 1, quels que soient les rapports mutuels de a, P, f ; donc la condition analytique pour que L et S aient un contact d'ordre n est que les coordonnées du point M', substituées dans le premier membre de Téquation de S, le rendent infiniment petit d'ordre n -+• i.

Les coordonnées d'un point quelconque de L peuvent être exprimées en fonction d'un paramètre t; alors F(x, j^, z) devient une fonction <p(^); soit 6 l'accroissement de t quand on passe du point M au point M'; on a

F(j:-i- /i, x-^k, 3H-/)= cp(/ -h 6)

Pour que cp(^H- 6) soit de l'ordre /i-hi, 6 étant du premier ordrOi il faut qu'on ait

(i) ?(0=o, ?'(0 = o, <p''(0=o, ..., oi«î(r) = o,

/ étanl, bien entendu, la valeur du paramètre relative au point M. Ces conditions reviennent aux suivantes :

(2> F(ar,/,2)=o, rfF = o, ci^*F = o, ..., rf»F = o.

On a /z -f- 1 équations qui se déduisent les unes des autres par différentiation, en regardant x, y^ z comme des fonctions de /.

15*. Quand l'équation F = o des surfaces d'une certaine famille renferme /z + i arbitraires, on peut, en général, choisir ces arbitraires de telle sorte que la surface correspondante ait, avec une ligne donnée L, un contact d'ordre n au point M; il suffit que les équations (2) soient satisfaites. On dit alors que la surface est osculatrice à la ligne donnée. En certains points de la ligne, on peut obtenir un contact d'ordre supérieur à /z, mais ces points sont exceptionnels.

Si l'on exprime qu'une surface de la famille considérée passe par le point M et par n points Mi, Ms, . . ., M» de L qui viennent se confondre avec M, on retrouve la surface osculatrice que nous avons définie. Soient, en effet,

PREMIÈRE LEÇOK COMPLÉMENTAIRE. Sig

les valeurs que prend en M, Mi, Ms, . . ., M a le paramètre qui caractérise chaque point de L; nous devons avoir /i + 1 conditions de la forma

o(0=o, cp(r-+-e,)=o, ..., <p(*-+-6„)=o; les n dernières peuvent s'écrire, eu égard à la première,

les 8 tendant vers zéro en même temps que les 0. Or la théorie des équations linéaires montre que, si 0|, 6s, .... On sont distincts, ' le système précédent donne pour ^'C'), ^'(i): . . - des valeurs de la forme A161 + Âsei + . . ., Ai, As étant finis. Gela posé, faisons tendre 81, 6s, ... vers zéro : si, es, . . ., ?'('), «p" (f ), . . . tendront aussi vers zéro, et, à la limite, nous aurons n-hi conditions identiques avec celle du groupe (i) (14*).

L'équation générale d'un plan

AX-+-BY-f-CZ-t-D = o

contient trois paramètres arbitraires; un plan peut donc avoir avec une ligne donnée un contact du second ordre en un point tel que M ; il sufGt qu'on ait

Xx -T-Br H- Ca -H D =s o, Xdx -4-Brfr •+-Cdz =0, AflPxH-Brf«r-+-Crf«3 =0;

le plan déterminé par ces conditions est celui qui a déjà été considéré sous le nom de plan oscuUueur.

SPHÂRB OSCULATRICB.

16*. L'équation générale d'une sphère,

dépend de quatre paramètres; on pourra les déterminer de ma nière que la sphère ait avec une ligne donnée un contact du troi

sième ordre en un point tel que M. La première des équations de condition est

Pour obtenir les trois autres, nous différentierons trois fois la première par rapport à ^ en ayant égard aux formules de Serret; nous aurons d'abord

(a) (j: — rt)cosa-f-(j^— ^)cosp -+- (« — c)cosy = o, . . cos/ , ..cosm , .cos/?

OU, en multipliant par p,

(3) (jr — û)cos/-»-(^— 6)cosm-i-(« — c)cos/i-+-p = o.

Prenons encore la dérivée par rapport à x, et changeons les

signes

, ./cosa cosX\ - dp

{x^a)\ ip — cosacos/-4-...— j*- = o:

\ P /• / ds

si nous tenons compte de Téquation (a) et de la relation

cosaccos/-h cospcos/n + cosYCOs/i = o,

la dernière équation de condition devient

(4) (x — a)cosX -h (j — è)cosfx-h(3 — c)cosv ^^-^ = o.

Ajoutons membre à membre les équations (2), (3) et (4) après les avoir multipliées respectivement par cosa, cos/ et cosX, ou par cosp, cosm et cosfi, ou enûn par cosyi cos/i et cosv, nous en tirerons

a = jc-4-pcos/ itr—cosX,

jr =r ^ H- p cosm ^r ^ COSfl,

« = c -h p cos« àir -i- COSV ; ^ as

réquation (i) donne alors, pour le carré du rayon de la sphère osculatrice,

PEEMIERE LEÇON COMPLÉHEUTÀIRE . 54 I

Le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le point P de Farôte de rebroussement de la surface polaire, dont les coordonnées sont calculées dans le n* 9* ; la grandeur du rayon R montre que la sphère coupe le plan osculateur suivant un cercle de rayon p, qui est le cercle de courbure. Conformément à une proposition générale établie au n"" 15*, la sphère osculatrice passe par le point M et par trois points infiniment voisins Mi, Ms, M3; son centre est à Tintersection des trois plans perpendiculaires sur les milieux de MMi, de MiMt, de MiM»; on peut le regarder comme le point de concours du plan normal en M et de deux plans normaux infiniment voisins.

APPLICATIONS A L'HiLICB.

i7*. Si, dans les formules du n° 298, nous remplaçons m par tangi, nous pourrons prendre les coordonnées d'un point de Thélice sous la forme suivante

x = Rcos^, 7- = Rsinr, « = R/tangt;

on en déduit

. Rrfr

as = .9

cos<

cosa = — cosi sin/, cosp = cosz cos/, cosy = sini;

i est l'angle constant que la tangente fait avec le plan de la section droite du cylindre.

Le premier groupe des formules de Serret nous donne

cos/ cos'icos/ cos/n cos^isinr cos/t

on en déduit un résultat déjà obtenu (303)

p= — r-., cos/ = — cosr, cos/n = — sm/, cos/i=o, ^ cos*« ' '

La forme bien connue de l'hélice montre que si, à partir d'un de ses points M| on chemine dans le sens où s croit, on est, par rapport au plan osculateur en M, du môme côté que la portion de binormale définie au n* 2*; il faut donc, dans les formules de Serret, prendre les signes supérieurs; le troisième groupe de ces

542 COURS D^ANÀLTSE.

formules nous donne, en divisant par dt^

R / cos'/sinr cosX\ C08I V H r J

cos« \ R r J

sinicos'/ cosv

on en conclut immédiatement

smrcose cos X = sln i sin t, cos {x = — sin i cos /, cosv = cosc,

résultats trouvés directement, mais moins simplement, an n® 304 Comme ^ est nul, le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le centre de courbure; ses coordonnées sont

a = — R tang*t cosf, ^ = — R lang'isin/, c = R/ tangi;

son lieu est une hélice, parfaitement réciproque de Thélice donnée; la surface polaire est un hélicoïde développable.

Enfin, les formules du n^ 11* donnent pour les coordonnées d'un point quelconque d'une des développées, en supposant ( = o pour le point Mo,

{ = — R tang» i cos t -i p^ sin i tang( 8 — / sini),

Tj = — R iang«i sint r^ cos< tang(6 — /sini),

cos •

î = R/ tangi h : taDg(6 — /sini).