CONTACT DE DEUX LIGNES

18*. Soit M un point commun à deux lignes données; si Ton prend sur ces deux lignes deux arcs MM', MM' infiniment petits du premier ordre, on verra, comme au n"" 13S quo lo segment M' M' est d'un ordre infinitésimal déterminé, n, pourvu que sa direction fasse un angle fini avec chacune des tangentes en M; quand n > i, les courbes ont en M un contact d'ordre a — i. Les

conditions analytiques de ce contact consistent en ce que les coordonnées du point M', substituées dans les deux équations de la seconde courbe, rendent leurs premiers membres infiniment petits de Tordre n ; on peut aussi exprimer que les projections des deux lignes sur deux plans différents ont un contact de Tordre n — i; Tune ou Tautre méthode donne in équations de condition.

Quand les équations d'une ligne dépendent de 2/1 ou de a /i -m arbitraires, on peut faire en sorte que cette ligne ait un contact d'ordre n — i avec une courbe donnée en un point donné ; la ligne devient alors osculatrice à la courbe donnée. Une droite, dont les équations contiennent quatre paramètres, ne peut, en général avoir avec une courbe donnée qu'un contact du premier ordre; an cercle, dont les équations renferment six indéterminées, aura un contact du second ordre quand il sera osculateur. Une hélice peut avoir en un point donné d'une courbe gauche un contact du deuxième ordre avec cette courbe ; ses équations dépendent, en effet, de sept paramètres : quatre servent à déterminer la position de Taxe du cylindre ; le cinquième est le rayon de la base ; un autre fixe la position d'un point de Thélice sur la surface du cylindre; le septième est Tangle des tangentes avec les génératrices.

Stcrv. — Àn,i I. 3i5*