DIFFERENTIELLES QUI DEPENDENT DES COURBES UNICURSALES
19*. Les différentielles algébriques qu'on a le plus souvent à considérer dans le Calcul intégral sont comprises dans la formule f{x^x)dx^ f désignant une fonction rationnelle des variables X eXjr qui sont liées par une équation algébrique et entière F(x,7)= o\ X Qi jr peuvent être regardés comme les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe algébrique. On est loin de savoir intégrer, d'une manière générale, la différentielle considérée; mais l'intégration est très simple dans un cas qui présente d'ailleurs beaucoup d'intérêt, celui où j: et j^ peuvent s'exprimer en fonction rationnelle d'une variable r,
on a, par une simple substitution,
Jf{x,jr)dx=Jf[^{t),^,(t)]^'(t)di,
et il n'y a plus qu'à intégrer une fonction rationnelle de r*
20*. Les courbes dont les points peuvent se déterminer individuellement^ comme dit Chasles, à l'aide des équations (i), ont été nommées par M. Cayley courbes unicursalcs. Nous devons chercher les caractères géométriques qui correspondent à la déûnition onalytiquc si simple au point de vue du Calcul intégral. On peut
( ' ) Cette Leçon ferait naturellement suite à la vingt-neuvième du texte.
toujours supposer que les fractions cp et ^i aient le même dénominateur,
(2) x = ç(0=jj|fj, r = Yi(0 =
MO
et que les polynômes ^{t\ 4*1 (0> '^{^ soient premiers entre eux ; on peut même les considérer comme étant du môme degré m. les termes manquant dans quelques-uns étant censés avoir des coefficients nuls.
Je dis d'abord que la courbe considérée est du degré m. Cherchons, en effet, ses points de rencontre avec une droite quelconque : si, dans Téquation «x -+- pj -+- (v = o, qui représente celte droite, je mets pour x et ^ leurs valeurs (2), je vois que t doit satisfaire à Téquation
il y a m racines à chacune desquelles correspond un point d'intersection.
Je dis, en second lieu, que la courbe considérée Um a des points doubles, propriété qui n'appartient pas à une courbe quelconque, et que le nombre de ces points est
Supposons que, pour deux valeurs z' et ^ de r, on trouve pour x et y les mômes systèmes de valeurs : quand t variera de t' à z', la courbe reviendra à son point de départ qui sera un point double. Cherchons donc le nombre des couples r', r' qui satisfont à cette condition, en supposant, pour simplifier, que 7r(r) soit réellement du degré m, et sans facteurs multiples. On a des identités de la forme
les équations <p('')=<p(^), ?i('') = ÇiC'') reviennent aux suivantes ;
^^-^)D(.-.KV-a)-°-
Sturm. — An,^ I. 3d
546 COURS d'ànaltse.
On rejettera la solution ^ — /*= o et l'on posera
nous aurons alors entre p ei q les deux équations
^là a^ — pa-^q Jmà a* — pa-+-q
Quand on aura chassé les dénominateurs, ces deux équations seront du degré m — i par rapport à p ei q; elles admettront (m — i)* solutions; mais il est facile de voir que plusieurs d*6atre elles ne donneront pas de points doubles. En effet, les deux équations rendues entières sont satisfaites si Ton a
(3) «*— p<i-+-g = o, b^^pb-^q = o;
d'où
p = a-hb^ q = ab, t' = a, t^= b;
pour ces deux valeurs de r, x et jr sont infinis sans que rien n'indique l'existence d'un point double, même à l'infini. Le nombre de manières dont on peut choisir les deux trinômes (3) que j'ai
supposés nuls est - m (m— i); le nombre des solutions à chacune
desquelles correspond un couple /', t^ donnant un point double se réduit donc à
On démontre en Géométrie qu'une courbe de degré m ne peut avoir plus de fx points doubles sans se décomposer en lignes de moindre degré ; on montre aussi qu'un point multiple d'ordre n
joue ici le même rôle que - /z(/t — i) points doubles, mais nous
nous bornerons au cas le plus ordinaire où il n'y a que des points
doubles.
21*. Pour qu'une courbe Um de degré m soit unicursale, il faut qu'elle ait (x points doubles; nous allons voir que cela suffit. Cherchons à déterminer une courbe Um-t de degré m — 3 qui passe par les (a points doubles de Um et, en outre, par m — 3 points simples donnés sur la même courbe. L'équation de la ligne de-
DEUXIÈME LEÇON COMPLÉMENTAIRE. o^H
mandée contient -m(m — i) coefficients; mais, comme Fun d'eux
peut être pris égal à l'unité, il y a - /n(m — i)— i paramètres
arbitraires; écrivons que Téquation est satisfaite par les coordonnées des
points imposés à Um-t ; nous aurons autant d'équations linéaires qu'il y a de paramètres à déterminer, moins un; tous ces paramètres pourront s'exprimer linéairement en fonction de l'un d'eux, que j'appelle t, et l'équation de U/n-s sera de la forme
(4) G(x,7)-hrG,(x,^) = o,
où tous les coefficients sont connus, sauf r.
Cherchons maintenant les abscisses des points d'intersection de Um et Vni-t • si on élimine^ entre les équations de ces courbes, on aura une équation H(x)= o de degré m (m — a), et dont les coefficients contiennent ^ à la puissance m. Mais l'équation H(x)=o doit admettre comme racines doubles les abscisses ai, as, ,^.^ a^ des points doubles et comme racines simples m — 3 quantités connues, ai, ocs, . . ., oLm^t; le nombre des racines qui dépendent de t est donc
m(m — a) — (/n — i)(/w — a)— (m — 3)=i, et le polynôme H sera de la forme
donc, à chaque valeur de t correspond un seul point de U/», dont
l'abscisse est de la forme x = ^~4 •
On trouverait de même, en éliminant x entre les équations de Um et de Um-i) qu'à la même valeur de t correspond un seul point
sur U/«, ayant pour ordonnée -—7—, • Les polynômes Tz(t)elTZi(t),
de degré /ti, ne peuvent être différents ; car alors, en réduisant x et j au môme dénominateur, on serait conduit (21*) à trouver que le lieu du point (x, 7) est de degré supérieur à m.
n ne sera pas nécessaire de former complètement l'équation H(x)=: o; il suffit de connaître la somme de ses racines, fournie
sans trop de peine par une méthode d'élimination due à Liouville, et d'en retrancher a(ai h- . . . -♦- a^)-h «i -h. . .h- a^-j pour avoir
la dernière racine ~^ • On fera une remarque analogue relativement à /.
22*. On peut aussi, comme Fa fait d'abord M. Clebsch, déterminer individuellement les points de Um à Taide de courbes Um-t de degré m — i, qu'on assujettirait à passer par les p. points doubles et par 2m — 3 points simples de Um. On verra, en raisonnant comme ci-dessus, que l'équation de Um-i est de la forme (4); l'équation aux abscisses des points communs à Um 6t à Um-i
aura
racine dépendant de /, et l'on sera conduit à des conséquences analogues à celles que j'ai exposées. Mais, en général, une équation de degré m^i doit donner lieu à des calculs plus longs qu'une équation de degré /n — a.
On ne pourrait pas employer des courbes de degré inférieur à m — a.
23*. Pour les coniques, fA est nul ; une conique quelconque est donc unicursale; et, en effet, si, par un de ces points xi,^i, nous menons une droite (Um-i),
(0 r— ri = '('^— *i)»
elle coupe la courbe en un seul point différent de (xi, j^i) et dont les coordonnées sont des fonctions rationnelles de t. Considérons la conique définie par l'équation
(2) F('^)7)=j' — ^ — b^ — cj:' = o; en tenant compte de l'identité
jr\ — a — bxi — cx\ = o, on tire des équations (i) et (2)
Xf /* — 2 ji t ■+■ cxi -4- b
— 7t^*-4-(Z>"H2g.rt)/— c.rt
DEUXIÈBfE LEÇON COMPLÉMENTAIRE. 540
Nous pouvons prendre xi = o, ji = v/«; en faisant c = rfc i, on retrouve la transformation d'un radical du second degré indiquée aux n"" 346 et 348. Si Ton prend xi = o, ^i sera Tune des valeurs a, p qui annulent a-\-bx-\- cj?*; soit xi = a; on a, dans ce cas, 6= — c(a-+-P), et, en faisant c = =ti, on retombe sur les formules de transformation données n"" 349.
Une courbe du troisième degré est unicursale quand elle a un point double; si l'on prend ce point pour origine et si l'on pose j'=^tx{\}m-^)f on tire immédiatement de l'équation de U| des valeurs de x et^ en fonction rationnelle de /.
24*. Une courbe du quatrième degré, U4, qui a trois points doubles est unicursale ; nous déterminerons ses points individuellement à l'aide d'une conique Us passant par les trois points doubles et par un quatrième point qu'il est commode de supposer in6niment voisin d'un des points doubles; c'est dire qu'en ce point Ut a même tangente que Tune des branches de U4 qui s'y croisent. Rien n'est plus facile que de former Féquation de Ui et celles qui donnent les coordonnées des points communs à Ut et à U4.
Prenons pour U4 la lemniscate de Bernoulli
(i) (jc«-4- j«)«- a«(a:*— ^«)= o.
On reconnaît aisément, en rendant l'équation homogène, que la courbe a pour points doubles, non seulement l'origine, mais encore deux points situés à l'infini sur les droites définies par les équations j = dbarv/— ï. Les coniques Ut passant par ces trois points et touchant à l'origine, comme le fait U4, la droite
sont données par l'équation
(2) j7*-t-j* — ta(jr — x)=o.
Il s'agit de résoudre les équations (i)et(2) : si Ton porte dans la première la valeur de j:*-h^« tirée de la seconde et si Ton divise par à^ijr — x). il reste
cette équation, combinée avec l'équation (2), donne immédiatement
X = at > y SK af —, •
55o COURS d'analyse.
DIFFÉRENTIELLES QUI RENFERMENT LÀ RACINE CARRÉE d'ON POLYNOME DU TROISIÈME OU DU QUATRIÈME ORDRE.
^*. Il y a une classe de différentielles algébriques /(x,^)<£r qui, au point de vue de TAnalyse, jouent un rôle plus important que lorsque x et^ sont les coordonnées d'un point d'une courbe unicursale ; ce sont celles dans lesquelles jr représente la racine carrée d'un polynôme X, qui contient x à un degré supérieur au second. L'intégration de la différentielle proposée ne peut plus se faire, en général, au moyen des fonctions algébriques, logarithmiques ou circulaires, mais elle introduit dans l'Analyse des fonctions nouvelles qu'on appelle intégrales elliptiques ou hyperellip^ tiques, suivant que le degré de X est ou n'est pas inférieur à 5. Nous nous bornerons aux intégrales elliptiques, en nous proposant de trouver le nombre des transcendantes distinctes ainsi introduites en Analyse, et de mettre sous les formes les plus simples les différentielles qui leur donnent naissance.
La fraction rationnelle /(x, /x) est nécessairement de la forme
Mi-r-NiV^X
M, N, Ml, Ni étant des polynômes; si l'on multiplie haut et bas par Ml — Ni /X, on peut écrire
P et Q étant des fonctions rationnelles de x. La différentielle proposée se compose de deux parties, l'une rationnelle P cirque nous
Odx savons intégrer, et l'autre ^=^y=- 9 que nous aurons seule à consi-
/X dérer.
26*. On peut toujours par une transformation réelle, à condition que les coeflQcients de X soient eux-mêmes réels, ramener la
différentielle ^^-rr^ à une autre de môme forme, mais dans laquelle
la quantité soumise au radical est un trinôme bicarré. Supposons d'abord que X soit du quatrième degré
X = Ax* -h Bx» T- Cx«-f- Dx -i- E;
nous excluons le cas où il y aurait des facteurs multiples puis-qu'on n'aurait plus en réalité qu'un radical du second degré. On sait que X, ayant ses coefficients réels, est toujours décomposable, au moins d'une manière, en un produit de deux facteurs du second degré à coefficients réels :
X = A(a?*-4-a^x-+-^)(x*-+-2g^x-hA').
On pose
X et p. étant deux constantes indéterminées; la transformation 8*opère sans difficulté et donne
dx (|x — \)dz (fi — ï.)dz
on a écrit, pour abréger,
F =: A({x» H- a^(x-^A), F' = fx' -^ag^fiH-//,
G--=A[XfiH-^(X --|x)-hn G'=^lii-^g'a-^iL)-^h', H = A(X« H-2^X-i-/i); H' = X« -+-2^'X-4-/i'.
Pour que Z soit bicarré, il suffit que G et G' s'annulent; de ces deux conditions on tire, en supposant ^^^,
X et fx sont racines d'une équation du second degré qu'on peut former, et elles seront réelles si la quantité
est positive. On peut écrire, en appelant a, p, a', ^' les racines de l'équation X = o rangées dans un ordre convenable,
a^ = __(a+p), A=ap, a^' = -(a'-H P'), ^' = «'P'; on aura alors
A = («p - a'P')«- (a H- p- a - p') [ap(a'-f- P')-a'P'(«-+- P)].
Si Ton calcule les coefficients de a< et de a, et le terme indépendant de a, on s'aperçoit qu'ils ont un facteur commun, et l'on
peut écrire
A = [«!(«' -4- p')a^- flt'p'] [pî— (a'4- p')p + «'p'] = («-.«')(«__ P')(P a')(P P').
Quand Téquation X = o a deux ou quatre racines imaginaires, il n'y a qu'un mode de décomposition en facteurs réels; un des groupes a, p, a', p' ou tous les deux sont formés d'imaginaires conjuguées et A est évidemment positif. Quand les quatre racines sont réelles, X peut se décomposer de trois manières en facteurs réels du second degré; pour que A soit positif, il faut qu'il n'y ait pas une, et une seule, des quantités a', p' comprise entre ot et p comme cela arrive pour l'un des modes de décomposition; il faut alors faire un choix entre les trois systèmes de valeurs réelles de g^ h, g', h'\ mais dans tous les cas il y aura des valeurs réelles de X et fi satisfaisant aux conditions que nous avons posées; pour les connaître explicitement, il faudra toujours résoudre une équation du troisième degré.
Nous avons supposé g et g' différents; s'ils sont égaux, il suffit de remplacer x par z — g pour avoir un résultat de la forme cherchée, soit
dx dz
Quand X se réduit à un polynôme du troisième degré, on peut
toujours le décomposer en un produit de facteurs réels de la
forme
X = B(x — a)(j:«-+- %gx-^- h)\
le changement de variable que nous avons fait dans le cas du quatrième degré réussirait encore; mais il est plus simple de poser X = ot -^ 2* ; il vient alors
dx idz
27*. Dans le cas le plus général que nous ayons eu en vue,
nous sommes ramenés à une différentielle qu'on peut mettre sous
îa forme
RzH-S dz
Ri3-i-Si /z' où les polynômes R, S, Ri, Si et Z ne renferment que des puis-
DEUXIÈME LEÇOir COMPLÉMElf TAIRE. 553
sances paires de z. Si ron multiplie haut et bas par R|— Siz, la différentielle prend la forme ^
f ^K dz , ..z dz
<p et (pi désignant des fonctions rationnelles de z*. ÏÏ suffit de poser z*= t pour ramener la seconde partie à ne contenir d'autre irrationnelle que la racine carrée d'un trinôme du second degré en t, et nous n'avons qu'à nous occuper de la première partie. On peut supposer qu'on ait fait sortir du radical la valeur absolue du terme constant de chacun des deux facteurs dans lesquels on a décomposé Z et ne considérer que la différentielle
où Z = (m2«±:i)(m'z>ihi).
28*. Nous allons, par un dernier changement de variable, réduire à un seul les divers cas que présente cette différentielle suivant les signes des quatre termes qui figurent dans l'expression précédente de Z. Par une analyse bien simple, on reconnaît que Z ne peut avoir que l'une des six formes suivantes, où les signes sont en évidence :
a» (I — fl«z«)(6«z*— i),
Dans le premier cas, on peut, en rangeant convenablement les facteurs, faire en sorte que a soit > 6; on pose
az = X. - = Ar; a
Hz dx
alors —^ se transforme en -,!; i en désignant dorénavant par X
554 couEs d'aitâltsb.
le trinôme
nous supposerons toujours k positif et inférieur à l'unité.
Dans le second cas, on peut faire en sorte que a soit < b] noos poserons alors
dans ce cas et dans les trois suivants, la transformation est telle que, lorsque x* varie de o à 1,2* prenne toutes les valeurs qu rendent Z > o. Ici nous aurons
- k^xdx ,
-= se transforme en — 7 -7^ > X étant toujours le trinôme (i) v/z ^ v^X ^
où A <i.
Dans le troisième cas, nous poserons
et nous aurons
X dx
dz— ——z=zt I — û'«* = 4?*,
dz k dx
Dans le quatrième cas, nous poserons
it- ^'
et nous aurons
, xdx
dz k dx
tu — 1 ' ' '
Dans le cinquième cas, nous ferons en sorte que a soit > &, et
noas aurons
X* ,^ fl* — b* dz 1 d.r
a*(i — x*) fl« ^i a y/x
Enfin, le sixième cas, où /Z est toujours imaginaire, se ramène I au cinquième en faisant sortir — i du radical.
Quant à 9(2*), elle se transformera toujours en une fraction rationnelle 4'(x>) qui pourra se décomposer en éléments simples de la forme
p et 9 sont des entiers dont le premier peut être négatif. Nous
sommes donc ramenés, en définitive, à deux espèces d'intégrales,
savoir .
x^p dx ,. r dx
__ rx^pdx r <
x^)^^JL'
nous allons voir que toutes ces intégrales peuvent s'exprimer au moyen de trois d'entre elles et de fonctions élémentaires.
29*. En développant l'expression de X, on trouve
X = I — (IH- A» )a:« H- A:«x*, et Ton en déduit l'identité suivante :
d.xV- y/Z = fxxl^i ^dx-^x^ 2Â:«^~(i-hA«)j:
H-(fjL-+-2)A:«x|A-»-»-— .
Faisons (i=/7 — 3 et prenons les intégrales des deux membres, sans mettre en évidence de constantes arbitraires, puisque chaque intégrale en comporte une : il vient
- (2/> — a) (n- A-«)Up-i H- (a/? - i)A:*U;,. Cette formule permet d'exprimer au moyen de Uo, Ui et de fonc-
lions algébriques Tintégrale Us, puis Ui, U4, .• . et aussi U-.t, U-î, etc.
Pour obtenir une réduction analogue des intégrales V^, nous partirons de l'identité suivante, qui se vérifie sans diffîculiâ :
(i-^nx*)9
] [2ç — (2<y- ï)(i-t-/ix«)]X-h[aA:«jr»-(i-!-A«)x«](i-^«x*)^^
On a aussi les identités
/i*X = A*(i-+-/ix«)«
— (/n- nk^-h aA:*) (i -h /ix«) -♦- (/i -H i) (« -h A*),
/i«[aA«x*-(n-A«)x«]
= 2A:*(i 4- /ix»)» — (/i -+- /iA:«-h 4 A:«)(i -h /ix*) H- /i -t-/ïA«-+- ait».
Si l'on multiplie par /z* tous les termes de l'égalité (i), on pourra transformer le numérateur du second membre au moyen des deux dernières identités; on ordonnera le second membre par rapport à i h- nx* et, en intégrant, on trouvera sans peine
— i^g — 0 [«(« -+- a) H- (2/1 -+- Z)k^]Vç (*) I H-(2^ — 2)[/i-f-(/i-h3)A:«]Vç-i
/i*xv/x
(i-H/iA*»;»
Cette relation subsiste quand même un ou plusieurs des indices des Y seraient négatifs. Supposons d'abord n différent de — i et de — A:>; en faisant 9 = 1, la relation (2) permet d'exprimer Vt au moyen d'un terme algébrique, de Vi, Vo et V-i; mais Vo n'est autre que Uo, et V.i que Uo + tzUi. En donnant ensuite à q les valeurs 2, 3, 4> ..., on pourra exprimer Vj, V4, ... au moyen de Vf, de Uo, de Ui et de termes algébriques.
Quand n est égal à — i ou à — A*, le premier terme disparaît de la relation (2), et celle-ci montre qu'on peut, dans ce cas, exprimer Vi, Vi, Vj, ... au moyen de Uo, Ui et de termes algébriques.
