INTEGRALES ET FONCTIONS ELLIPTIQUES

30*. En résumé, les transceDdantes distinctes introduites par Fintégration de la différentielle /(or, v^) dx se réduisent à trois, Uo, Ui et Vi. Nous prendrons, comme on fait habituellement, les intégrales à partir de x = o, et nous poserons

Jr' dx

Xx^dx /(,^.2)(i A«j:«)

x«)v/(i — xî)(i — A«x»)'

ces intégrales sont connues sous les noms ôUnt^grales elliptiques de première, deuxième et troisième espèce; la constante k est le module, n le paramètre de l'intégrale de troisième espèce. Le nom d'intégrales elliptiques vient de ce que, dans une ellipse où le demi grand axe est égal à l'unité et l'excentricité à A:, un arc compté à partir du sommet du petit axe a pour longueur

Legendre avait même donné à cette fonction s le nom d'intégrale de seconde espèce.

Si l'on pose a: = sin<p, les intégrales elliptiques prennent des formes remarquables :

/•^ do

J. /i - A* si

f , '— • — y ç V^i — ^*sin*cp

r^ éh

Jq (i -»-/îsin'ïp)/i — A'sin'ïp

Les intégrales eUiptiques ne peuvent, en général, se réduire

56o EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL.

14. Lieu des centres des hyperboles équilatères qui ont en an point donné un contact du second ordre avec une courbe donnée.

15. Trouver le lieu des foyers et Tenveloppe des axes des paraboles qui ont en un point donné un contact du second ordre avec une courbe donnée.

16. Trouver l'équation de la conique qui a en un point donné un contact du quatrième ordre avec une courbe donnée.

17. Lieu des points de rebroussement des courbes du troisième degré qui ont pour asymptotes trois droites données.