ÉTUDE DE QUELQUES SÉRIES

57. Nous allons appliquer les règles précédentes à quelques exemples.

Cette série est convergente, quel que soit x. En effet, on a

48 couns h'a^alyse.

et aussi

.rA'-'

d'ot

On voit par là que le rapport d'un terme au prt'ccdent finira toujours par devenir plus petit que tout ce que l'on voudra, et, par conséquent, plus petit qu'une fraction quelconque h. Donc la série est convergente, et cela quex soit positif ou négatif.

On peut savoir quel est, dans cette série, le plus grand terme pour une valeur donnée à x.

Supposons que Ton ait

le plus grand terme sera

I*iAaO< • ••

En effet y on peut mettre ce terme sous la forme d'un produit

composé de facteurs plus grands que i : tous les termes précédents sont moindres, puisqu'on les obtient en supprimant dans celui-ci un certain nombre de facteurs plus grands que i : tous les termes suivants sont aussi moindres, puisqu'on les obtient en multipliant celui que nous

venons d'écrire par des facteurs — '■ — ? — ^^^ — > • • • ? moindres que l'unité.

Supposons qu'on s'arrête à — et qu'on veuille

avoir une limite supérieure du reste B^.. On aura

QUATRIEME LEÇO». 49

d'où

"^ 1.2. ..« L^-^-i (/»-i-ip (/»-+-i)' J

ou, en supposant /i -h i ^ j:,

OU, enfin,

2^ Les différents termes de la série