I -f- XQX3&X -f- -^ COS2X -h. . . H ^ COS/IX -f

5ont plus petits que ceux de la série précédente. Donc la nouvelle série est convergente à plus forte raison.

On a, dans cet exemple,

= xX •

Comme ce rapport tend vers a: à mesure que n augmente, il en résulte que la série est convergente pour les' valeurs de x comprises entre — i et -h i .

On arrive à la même conclusion en appliquant le second théorème (53).

On peut facilement trouver une limite supérieure du reste B„. En effet, on a

Rii = ; 1 h...< (i-hx-f-x^-i-. . .),

OU, puisque x est moindre que i ,

// -h i I — X Stcmi. —An,^ I.

5o co€ftS d'aiîaltse.

On a^ dans cet exemple.

I fm-hi N

Si X est moindre que F unité et positif, les termes finissent toujours, quand p est sufBsamment grand, par devenir alternativement positifs et négatifs, et par décroître indéfiniment. Donc alors la série est convergente. Elle Test encore si Ton slx<^o et que sa valeur absolue

soit plus petite que i ; car, dans ce cas, le rapport '~^*

finit toujours par être, en valeur absolue, constamment plus peli t qu'une fraction quelconque k plus grande que x. Si or, positif ou négatif, est plus grand que i, la série est

divergente, car ( 1 ) a: finît toujours par surpasser I.

5** La série