DE LA NOUVELLE ÉDITION

Depuis sa première édition, parue en 1857, le Cours d Analyse, professé à TÉcole Polytechnique par Sturm et publié par Prouhet, est resté l'un des Ouvrages consultés le plus volontiers par ceux qui veulent s'initier au Calcul infinitésimal : sa clarté et sa simplicité lui ont valu un succès qui se maintient et se justifie encore aujourd'hui. Il faut re~ connaître toutefois que, depuis l'époque où Sturm faisait son cours, les méthodes et les programmes ont changé; diverses théories sont si bien devenues classiques qu6 leur place est marquée, même dans un Livre élémentaire destiné aux candidats à la Licence et aux élèves de nos grandes Écoles.

Parmi ces théories, l'une des plus importantes est, sans contredit, celle des fonctions elliptiques ; mais les lecteurs des dernières éditions du Cours d'Analyse de Sturm n'ont rien eu à désirer à cet égard : ils ont trouvé, à la fin du second Yolume, un Appendice, rédigé par un de nos géomètres les plus autorisés, M. Laurent, et contenant, sur la

XIV aveutissemekt de la HOUVELLE ÉDITIOn.

théorie générale des fonctions et surtout sur les fonctions elliptiques, des notions largement suffisantes, non seulement pour satisfaire aux exigences des programmes, mais pour guider encore plus loin ceux qui veulent explorer l'immense carrière ouverte par les travaux d'Abel, de Jacobi, de Cauchy, de MM. Hermite et Weierstrass,

Outre cette importante théorie, il en est d'autres, plus ou moins étendues, qui sont omises ou développées d'une manière tout à fait insuffisante dans les leçons publiées par Prouhet, et qu'il est indispensable d'indiquer ou de développer, même en ayant simplement égard au programme de la Licence; c'est ce que j'ai essayé de faire au moyen d'additions qui se rattachent immédiatement aux Leçons de Sturm, et de quelques modifications à ces leçons elles-mêmes. On trouvera les additions proprement dites à la fin de chaque Volume, sous forme de Leçons complémentaires. La première, qui est la plus étendue, a pour objet de compléter la théorie des courbes k double courbure; la seconde, qui doit être lue immédiatement après les leçons sur l'intégration des difierentielles algébriques, se rapporte aux courbes unicursales et à la réduction des intégrales qui dépendent de la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré. La troisième, placée dans le second Volume pour suivre l'ordre adopté par Sturm, contient des compléments sur la théorie des surfaces ; la quatrième est consacrée aux séries de Lagrange et de Fourier.

Pour les modifications à apporter au texte des leçons, bien qu'il n'ait pas été rédigé par Sturm

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lui-même, j'ai usé d'une grande réserve, en conservant toutes les notations et, autant que possible, la méthode d'exposition. La plus grosse modification consiste dans le remplacement de la leçon sur la question, purement algébrique, des équations binômes par une leçon nouvelle qui contient le développement d'un chapitre sur l'élimination des fonctions arbitraires, emprunté à une autre leçon de l'ancien texte, et la théorie du changement de variables quand il y en a plusieurs d'indépendantes. A une démonstration assez pénible de la série de Taylor, j^ai substitué l'élégante démonstration de M. Rouché, en rappelant la démonstration si générale que M. Bonnet a donnée du théorème de Rolle. J'ai dû compléter la leçon sur les imaginaires par des développements sur la définition et les propriétés des fonctions ^, sinz, coss, \z, z'^. La solution de problèmes élémentaires sur le plan tangent est remplacée par des notions sur les surfaces enveloppes; un paragraphe est consacré au changement de variables dans les intégrales doubles. Enfin, la leçon sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre a été refondue et accrue de la théorie des équations aux différentielles totales et des équations non linéaires aux dérivées partielles, dans le cas de deux variables indépendantes.

J'ai relu avec soin le texte donné par Prouhet et j'y ai fait maintes corrections de détail, évidemment indiquées : je n'ai pas hésité k abréger certains passages, quand j'ai cru ne rien sacrifier d'utile; mais j'ai conservé les leçons sur les séries

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et les diiïërences finies» ainsi que les notes de MM. Catalan, Despeyrous, Prouhet et Brassinne, qui toutes présentaient de Tintérét. Enfin j*ai cru faire plaisir à plusieurs lecteurs en donnant, à la suite des Exercices empruntés à Texcellent Recueil de M. Tisserand, une série de sujets de compositions proposés par les Facultés de Paris et de la province.

Nous espérons que cette nouvelle édition présentera un ensemble aussi homogène qu*on peut le demander à une œuvre collective, qu'elle sera au moins aussi facile à étudier que les éditions précédentes, tout en étant suffisamment complète pour les débutants.

A. DE Saint-Germain.

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