DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

DilTérentiation des fonctions logarithmiques, — des fonctions exponentielles, — des fonctions circulaires directes, — inverses.

FONCTIONS LOGARITHMIQUES.

03. Sohjr le logarithme de .r dans le système dont la base est a, de sorte que

On a d'où

^y := log (.r H- Ax) — logx =:= log ( IH

et

/ Aj:

Ar^ ^ ^

Ax Ax

Si Ton pose C^x ^^ ---> on aura

= ^ log ( 1 + — ) — - log ( I -h — ) .

Si l'on fait croître m indéfiniment, Ajc diminuera jusqu'à zéro, el ( ; H j atteindra sa limite e (58) -, donc

lim - — ou --- -- - logtf,

A V dy i

— ■ ou ---r-- A X dx X

d'où

dx dy ou d. logjp =: — logtf.

64, Quand on prend le nombre e pour base, les logarithmes appartiennent à ce qu'on appelle le système népérien : nous les désignerons par I.

Dans ce système, on a le = i , et, par suite.

(Ix

II est facile de passer d'un système quelconque au système népérien, et vice versa.

En effet, Téquation

x^=^aT

donne

\x-^=y\a — logxlci.

En faisant x = e, il vient

I =^ log^.l/z,

d'où

pui;

Iog.= jL,

logX rr: Ix X , — I-C X log<?.

Le facteur constant — ou loge, par lequel il faut mul-

ti plier le logarithme népérien d'un nombre pour avoir son

logarithme dans le système dont la base est/x, est appelé le

module de ce dernier système. Quand a^^ lo, le module

est

loge =: o ,4342945.

En multipliant les logarithmes des Tables ordinaires

par , ou 1.10 qui est 2,3o2585i, on aura les lojra-

* \oiie *■ "

rithmes népériens.

Go. La règle de la diflerentiation des logarithmes est souvent utile pour différentier d'autres fonctions.

Ainsi, on peut b'cu servir pour différentier m"*, quel que

CINQUIEME LEÇON. 5g

soîl m, u étant une fonction de la variable indépendante. On pose

Jrrrtt"', d'où l/r=^Wlltt,

^t, en différentiant, il vient

djr fin

d. a'" -- mu''~^ du.

Soit encore un produit de plusieurs fonctions de x, tel que y = la^z .

Comme il pourrait y avoir des facteurs négatifs, élevons au carré, et prenons letf logarithmes*, il viendra, après avoir différentié et divisé par a,

dy du dv dz

jr u ç z

résultat déjà obtenu par une autre méthode.