VXK UNE SEULE ÉQUATION
81. Nous savons (5) qu'on nomme Jonctions implicites celles qui sont liées à la variable dont elles dépendent par une ou plusieurs équations non résolues.
Supposons d*aboixl deux quantités a: et^ liées entre elles par une seule équation
et soit X la variable indépendante. On peut trouver dy
ou -~- sans être obligé de résoudre l'équation par rapport
àj\ En eiïet, si Ton conçoit que j^ soit remplacée par sa valeur en fonction de a:, j^-= (f (x), on aura identiquement
Donc la différentielle de f(x^y)^ prise en regardant j^ comme une fonction de x, doit être identiquement nulle, et, d'après la règle des fonctions composées (47), on a
70 COURS D^ÀNALYSB.
d*où Ton tire
Ainsi , la dérivée de la fonction implicite y s^ obtient en dii^isant la dérix^ée du premier membre de V équation prise par rapport à x, par la déwée de ce membre prise par rapport à y et en changeant le signe du quotient.
82. Lorsque l'équation d'une courbe se présente sous la forme
la règle précédente permet d'obtenir le coef6cient angulaire de la tangente menée par un point quelconque de
dy cette courbe, c'est-à-dire y-> sans résoudre Téqualion
par rapport à Tune des variables.
Exemples. i° Soit Téquation de l'ellipse
En diiTérentiant, on a
na^/djr -+■ 2b*xdx=:oi d'où
djr Ù^X
dx a*y
L'équation de Tcllipse donne deux valeurs àej^
^1 = -h - va' — x% j, = yn» — or»,
dr auxquelles correspondent deux valeurs de — > qui sont
fi
iyx b X dy-t b x
dx a ./^,i ^a dx
dr
En général, -- a autant de valeurs que^.
SIXIEME LEÇON. *Jl
2® Soit réquation
A^* -h hx" -h CxP^f = o, on en tire
mky^-^dx -4- /iBx»-'</x -h pCxP^^y^dx -4- qCxPyl-'dy = o
d'où
eiX /» B j"-' 4- p CxP-^ r»
^ ~" "~ m Aj*-' -h 7 Cj^-'asP '
3« Soit
X* -+- j* — 3#ïx^ = o ;
on en dédait
dy ay — x»
eix y ^ — ax
Comme, en général, à une même valeur de x répondent trois valeurs dej" ou trois points de la courbe, il y a aussi
trois valeurs correspondantes de — • 4° Soit encore Téquation
û' sm — — = xr,
qu'on ne pourrait pas résoudre par rappoit à y\ elle donne
d'où
