ÉQUATIONS

8i. Deux fonctions implicites de x, savoir j^ et 2, étant données par les équa lions

(2) F(ar, j,z) — o,

on peut obtenir -f- et -— sans les résoudre. En clFci, si

dx dx

Ton portait dans les équations (i) et (a) les valeurs dej^

et de z en fonction de x qu^elles déterminent, savoir

y = (j) (x) et z r='^ ( x), les premiers membres

seraient identiquement nuls; donc leurs difTérentielles seraient nulles aussi. Il faut donc égaler à zéro les différentielles dey(x, r, z) et deF(x, y^ z), en y regardant ^ et z comme des fonctions de la variable indépendante x. On obtient ainsi

(3) -f <irH--f <//-f 4 f/3^o,

tlx dy dz

^^' c/x dy ^ dz

équations qui renferment les deux inconnues -,- et — au ' ^ dx dx

premier degré seulement : on en tire

dfdF dx dz

dfdF dz dx

df d?

dz dy

dfdF

dy dx

dfdF df dz

dfdF dx dy

dx dfdF dfdF dz dy dy dz

y4 cocRS d'analyse.

Si réquatîon (i) ne contenait pas x, on aurait

,Lc - "'

etTéquation (3) deviendrait simplement

d'où Ton tirerait

^ dy

dy df "

Cette dernière expression est le rapport des différentielles de z et de j^ considérées comme fonctions de x^ mais c'est aussi bien la fonction dérivée de z considérée comme fonction àey^ en regardant j^ comme une variable indépendante. En effet, z étant fonction de y, en posant

et prenant les différentielles par rapport â x, on a, d'après la règle des fonctions de fonctions,

85. En général, si Ton a n équations entre ^ -h i variables, une seule sera indépendante et toutes les autres seront fonctions de celle-là. On égalera à zéro les différentielles des premiers membres de toutes ces équations ; on aura ainsi n équations où dx^ dy^ dz^ etc., entreront au

premier degré, et d'où l'on tirera les valeurs de — »

-—«. etc.