Exemples, i** ^ = x'», m étant entier

y' ou -^ — =: mjf*~\ dx

dx' ^ '

^- ..z mim — i)[fn — 2)x*~%

— - rzz m (m — i). . .(//i — /i -T- i)«*"*.

— — -jiz m(m — i^...3.2.i.

dx^ ^

On voit que -.-^^ a une valeur constante, et que les dérivées ultérieures se réduisent à zéro. 2? ^ — Ax« -4- Bx'-' -4- Cx"-' -t- . . .

-- =mAx*-'-h (/w — i)B^."-'-l- ..,

mmJL

SIXIÈME LBÇOn. 77

et, si m est ua nombre entier,

-r = 1.2.3. «•Il* A*

dj^

Les dérivées suivantes sont nulles.

Si a = tf , on a

y z= logx.

dx *-'^^«S^»

dj^ — '•^••^•^^g'^5

^ = (— i)"-' i.a.3...(/j— i)x-".Iog^.

5* ^ = sin X.

dy d^y . £/»/ d'y

-f^ = cosx, = — smx, -— -1=: — cosx, — — = smx.

Les dérivées suivantes reprennent périodiquement ces quatre valeurs.

On peut remarquer aussi que

dy

-— = sin I X +

dx

d'où

djL

et en général

= sin 1 X H rr ) î — - = sm x H — tt | , • ••>

— '- :^ sin X -f- -ff }•

y6 COURS d'analyse.

et ainsi de suite; donc, si Ton représente d {fly) par d^y^

d(d^y) par d^j^ et ainsi de suite, on pourra écrire

Comme /i, ou l'accroissement arbitraire de x, est la même chose que dx^ ces relations deviennent

djz=^ydx, d^yzzzy^dx^, ^»^ = j^^dlr^,..., d''x=x('')djf.

On tire de là les expressions suivantes pour les dérivées successives :

•^ ^/.r -^ dx^ -^ dx* -^ djL'^