Exemples. i° jk = ^'", m étant entier

y ou -T— = m.zr-\ dx

dx' ^ '

-—— -^ mim — i){'n — 2)x*~\

dx^ ^

On voit que -.-^^ a une valeur constante, et que les dérivées ultérieures se réduisent à zéro. 2" jL-i Aur^-f-Bx—'-t-Cx^-^-h. . .

-- =mAx^'-4- (/w— i)B^.'"---h ..,

—^ ^^ mim — j) Ax"~' + i/;i — I ) (m — 2)Bj:"""* -h. ..; dx^

SIXIÈME LEçon. 77

et, si m est un nombre entier,

dxT

Les dérivées suivantes sont nulles.

Si a = e, on a

dy d^jr d^r

— ^-i.^Mog^, ■— -= I .a.jr^.logtf.

2^==^(— i)"-'i.a.3...(/i- i)x-Mog^.

5** J = sin X,

dy d^y . £f»r //«r

—- = cosx, — =^ = — sinx, -7— = — cosx, -- — z=sinj:,

dx ' (ix* dx* dx'

Les dérivées suivantes reprennent périodiquement ces quatre valeurs.

On peut remarquer aussi que

dy • / . ' \

-- 1= sin X -i — TT I dx \ 2 /

d'où

-— ^ = sin ( j: H — TT ) > — '— = sm X H — tt ) , • ••>

et en général

— ^- — sm \ X -h dx^

Pour y = coso:. on trouverait

- — =: ces \x -\ — ir I r-c* \ 1 )

89. Quand la fonction y est implicite, on peut avoir ses dérivées successives sans résoudre Téquation qui la détermine. Soit

on aura

df df ,

équation qui fournit d'abord la valeur de y en fonction de X et de /, ou en fonction de x seulement si Ton élimine^ entre les équations (i) et ( 2).

Maintenant, représentons par

Téquation (2), ou plus généralement une combinaison quelconque des équations (1) et (2). On pourra considérer la fonction cp comme identiquement nulle, si Ton y suppose y et y' remplacées par leurs valeurs en fonction de X. Donc on doit avoir do = o, ou

d'où

«/x dy ^ df ^ '

/ « . do do , d^ ,,

Cette équation fera connaître y" en fonction de a:, y el Y\ ou en fonction de x seule, si Ton élimine j^ et j^' entre les équations (1), (2) et (3) ^*).

(*) Si l'cquation (1) renferme deax constantes, on peut les éliminer entre les équatiou8(i), (s ) et (3), et Ton arrivera ainsi à une équaUcn exprimant une propriété commune à toutes les courbes représentées par l'équation (1% dans laquelle ou ferait varier ces constantes (83). Od pourrait éliminer un plus grand nombre de constantes en formant un nombre suffisant d équations diflcrenlielles.

SIXIÈME LEÇON. jg

On trouverait de même j^'", ^*^, etc.

Nous verrons plus loin (111) comment les équations qui détcrminenlj^",^'", etc., peuvent se former au moyen des dérivées successives du premier membre^ (j:,^) de Téquation primitive, prises par rapport à x et à^.

ou CHANGEMENT DE LA VAUIABLE INDÉPENDANTE.

90. Si l'on a n équations entre (« -f- i) variables,^, x^ f , li) 1^, . . . , on peut en regarder une comme indépendante, et imaginer que toutes les autres soient exprimées en fonction de celle-ci. Si l'on choisit /, par exemple,

on a

j'='if{t) et d'*j'='^^"^f]dr.

Supposons, maintenant, qu'auparavant x ail été la variable indépendante, et que Ton ait

X—f[x) et xi^-<p(/).

L'élimination de x entre ces deux équations conduirait àTéquation j= ^ (r), qui, par la différentiation immédiate, donnerait les dérivées \' [t)^ y (/),..., ^''^ (/) dej^, en considérant y comme fonction de la nouvelle variable indépendante f.

Le problème que nous allons traiter consiste à exprimer, sans passer par Télimination de x, les dérivées ou différentielles successives de y considérée comme fonction de f, au moyen de /' (x), /" (x), etc., et des dérivées ou différentielles de x prises en regardant x comme fonction de t.

91. A cet effet, si l'on prend t pour variable indépendante, et que Ton considère x et j^ comme fonctions de t^ on a, d'après la règle des fonctions de fonctions,

dx=f' [x] dx.

En différentiant cette équation par rapport à f et regardant dx^ non plus comme une constante, mais comme

8o COURS d'ahalyse.

une fonction de t^ on a

d^y -f" [x) dx^ -+- /' [x) d^x.

De mème^

d^X=f''[x)dx' ^Zf" [x)dxd^x^f' [x)d^r,

et ainsi de suite.

Si, au lieu des différentielles dey ou de ^(t) par rapport à t^ on veut avoir ses dérivées ^' (t) enj^"(/), etc., il suffit de diviser les équations précédentes par dt^ di^j dl* respectivement, ce qui donne

r(t) ^/'{x) ,' (/)' + 3/" (x) f (Of (t) + /' (x) o- [t).

92. Réciproquement, si Ton connaît les différentielles ou les dérivées successives de x et de / considérées comme des fonctions c^ (')) ^ (t) de la variable indépendante /» on en peut déduire les dérivées/' (jr ),/" ( x), etc., dey considérée comme fonction de x. Car on tire des équations précédentes

^dx(dxd'Y^ dxd*jr) — 3 d^x (dx rf» r — dr d^x) f {^) - ^, ' '- >

les différentielles dans les seconds membres étant toujours relatives à t*

93. Voici un autre moyen d'arriver à ces formules. On a d'abord

^ ^ ^ dx En diiféieutiaui les deux membres de cette équation par

rapport i f , on trouve

f [^)dx^d.-^ — ,

et, en divisant par dx^

dxd^y — dyd'*jr

djc*

Une nouvelle différcntiation par rapport à t fera connaître y^''(x), et ainsi de suite.

94. On doit remarquer que la dérivée preiniërey'(x) est la seule dont Fexpression par les diflerentielles de x et dey reste la même, quand on cesse de prendre x pour variable indépendante ou quand dx cesse d^èlre constante.

dr En effeij J^ (x) est toujours exprimée par -j-y taudis

tu»

que les autres dérivées/" (x), /''' (x), etc., qui sont re-

d^Y d^r présentées par -— ? --—j etc., lorsque x est la variable

indépendante, ont des expressions plus compliquées quand on regarde x et j" comme des fonctions de la nouvelle variable indépendante t,

95. Il se présente ici une vérification des formules générales. Si Ton prend x pour variable indépendante, en faisant x = f , ou a

djs d*x d*T

^='' ;rf^=°' -5?=°

et Ton trouve

dx est à présent constante, et les différentielles dy^ d^y^ etc., se rapportent à x.

96, Si Ton prenait j^ pour variable indépendante, Té-

83 COURS d'ai?altsb.

quation

étant résolue par rapport à x, donnerait une valeur de la

forme

F (y) est è\x.e fonction inverse àe f[x). Il faudrait faire alors j' = f , d'où

dy = dt^ d^jrz=o, </»7 = o,..., puis

^ . . dy I I

^ ^""^ "" ux -^ JluT "" rjyf

dx d^x /d^j-y