Si Ton pose
du X ^'< . / ^ du
la somme des différentielles partielles de u par rapport à
SEPTIÈME LEÇOir. 87
toutes les variables, ou
sera nommée la différentielle totale de u. Dans celte expression, dx, djr, dz désignent les accroissements arbitraires de X, j^, z^ ou Ax, Aj^, ^z,
100. Pour trouver Texpression de Taccroissement total Au de la fonction u, nous allons reprendre la marche suivie pour démontrer la règle des fonctions composées. On aura, en désignant par a, 6, y des fonctions qui tendent vers zéro, avec A x, A^ et Az respectivement,
(i) /(x-4-A.r,/,z)— /(ar,^, «)=[(p(.r,j, *)-4-a]Ax, (^) f[^>X -+- ^Xy «) — /(jPjr, «) = [^P (^,r» «) -^ ê] Aj',
Supposons que, dans l'équalion (2), on remplacer? par X 4- Ax, et, dans Téquation (3), x eiy par x 4- Ajc et^ H- A^r, il viendra
/ ,v l f(^ H" Aa:,7 -+- A7, z) —f{x -+- Ax,7, «)
et
/ -\ ( /(^ -^ ^^'7 -H Aj^, z -h Az) —f{x -h Aar,7 -f- A/, 5)
& s'évanouissant avec Aa: et A^, et y avec Aa;, A^ et A 2. Si l'on ajoute la première équation avec les deux dernières, il vient
/(x-f- A.r,^-h Aj,«-4-Az) — /(x, r,*)
= [o (x, jr, 5) -f- a] Ax -f- [>Kx 4- Ax, j', «) -4- 6'] A j ^-[x(xH-Ax,jr4-A/,z) -h7']Az,
OU, en désignant par (3'' et y'' de nouvelles fonctions qui tendent vers o,
( Atf = [(pi'x,r,=)Ar-f--M-^.r,«)^r-^x(^>r.«)^«]
Ainsi raccroissement de la fonction u se compose de
88 cou as D^AMALTSB.
deux parties : dans Tune, les accroissements des variables sont multipliés par des fonctions indépendantes de ces accroissements, et qui sont les dérivées partielles de u; dans l'autre, ces accroissements sont multipliés par des quantités or, (3'\ y" qui s^évanouissent en même temp;; qu'eux. Dans le cas où les variables indépendantes se réduisent à une seule, la première partie se nomme différentielle de la fonction. Il est donc naturel de donner, dans tous les cas, à cette première partie, le nom de différenlielle totale.
\ 01 . Voici quelques exemples de différentielles totales :
du — et comme
a ^jr'-hj' dy — ayd\]x* -h ^ '
il vient
— xd.r-^ ydy
— axy dx -+- tun^dr du = j
3** u =: arc tang - *
, « xdy — ydx
