PROPRIÉTÉS DE LA DIFFÉRENTIELLE TOTALE

102. Nous avons vu, au commencement du Cours (22), que la limite du rapport de l'accroissement d'une fonction d'une seule variable à sa différentielle est l'unité (pourvu que la dérivée ne soit pas nulle). Le même théo-

SEFTlkUE LEÇOir. 89

rème a lieu pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes.

On a, d'après la définition de la difTérentielle totale.

du = ff{x,y, z)^X'^'^ [x, /, z) àx -^X{^9 y* «) ^*» par conséquent (100),

àu^du=: a^x -h .8"A j 4- v'^Az;

puis, en divisant par duy

P., Ar „ àz " -^ -4- 7" —

tlt*' , , , . Ar , àz

Lorsque Ax, Aj^, ùkZ deviennent infiniment petits, le numérateur tend vers zéro, mais le dénominateur ne devient pas infiniment petit, tant que Tun au moins des

rapports — ^ — reste arbitraire. La limite de -r— est donc ^^ ùix Ax liu

Tuaité, si les valeurs des accroissements Ax, A/, As

n'annulent pas du.

103. Quand une fonction de plusieurs vatinhles est constante, sa difjerentielle totale est nulle.

En eflet, la dérivée de cette fonction par rapport à chaque variable est nulle, par conséquent sa différentielle

totale, qui est 7" ^^ "+" T" ^J'~^ -j" ^^9 ®sl nulle aussi.

On en conclut que si deux fonctions ont une différence constante, leurs différentielles partielles ou totales sont égales. Car si u — v' = c, c étant uue constante, on a

fi{u — v) ou du — dv = o et du m r/f.

Et réciproquement, si du = ^(^, on a

,, , d(tt — q) , d(u — v) ^ d(n—if),

^(n — pj = L dx -+- -^ i dy -+- — ' dz — o,

' Ox Uy ^ dz *

Oo COURS d'akalysk.

égalité qui entraîne les suivantes :

fi(u—p) d{u — v) d(n — o]

~dr-^''' — ST"""**' dz =="•

puisque les accroissements dx. dy^ dz sont tout à fail arbitraires. Par conséquent la difïérence u — v est indépendante de chacune des variables x, y et z (24). Cesi donc une constante.

DIFFÉRENTIàTION d'uNE FO.ÎCTIOW COMPOSÉE DE FONCTIOKS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.

104. Si une fonction est composée, par exemple, de deux fonctions des variables indépendantes x,y, z, comme /? =: F (m, i^), on aura, en la différentiant tour à tour par rapport à chaque variable,

ffp dp du dp do

dx du dx fév dx

dp dp du dp dp

dy du dy dv dy

dp dp du dp (h

dz du dz dv dz '

dû^ dû ^^^^S^^^^ les dérivées de p ou de F (w, i^) prises

par rapport à chacune des quantités u et v^ comme si u et 1/ étaient des variables indépendantes.

En multipliant les dérivées -^5 -^, J^par fhr. dy^ dz

dx dy dz '■ "^

respectivement et ajoutant, on aura la différentielle totale ilep,

dp =r 1^- du -f- -- dv.

du dv

Les facteurs du et dv qui multiplient les dérivées partielles ^-5 ~ désignent les différentielles totales de a et de \f. Ainsi le théorème relatif à la différenliation d'une

SEPTIÈME Leçon. 91

fonction composée (47) s^êtend au cas de plusieurs variables indépendantes.