Soit
une fonction des variables indépendantes x^ j^ z. Les règles relatives aux fonctions d'une seule variable
donnent immédiatement les dérivées successives -—9
dx
d^u d^N . du d^u du d** u
ITT'* • •» T~r9 puis —->•••> - — et -— 1 • • • 7 , -• dx* dx' ^ dy dy" dz dz"
Or toutes ces dérivées sont des fondions de a:, y et z, qui ont elles-mêmes leurs dérivées par rapport à chacune
9^ COVaS D*A1VALT8F.
des variables. Ainsi l'oa peut prendre — » c'està-dire la dérivée par rapport à jr de la dérivée de u par rapport à x.
Pour plus de clarté, on pourrait indiquer ces deux
opérations successives par — — ou -7—,— ; mais 11
sultJt décrire simplement -7—- ou — — r-> parce que
* dydx dyax * ^
l'ordre des différentielles dy %^x dx au dénominateur indique sufGsamment quMl faut prendre d^abord la dérivée
de n par rapport à x, qui est — ) et ensuite la dérivée
de — - par rapport à^. De même exprimera la dé-
rivée par rapport à x de la dérivée de i* par rapport à y. On indique d'une manière semblable le résultat d*un nombre quelconque de différentiations successives exécutées dans un certain ordre sur la fonction u par rapport
aux diverses variables qu'elle renferme. Ainsi — - — ; — 7-
* dzdxdyîtx
signiGe qu'il faut prendre d'abord — =Wi, ensuite du, . dtii p dUi ^, j
-— = M, puis -— 1= Uj, et enlin -— = li.. C est ce derdy ^ ^ dx dz
d* ft nier résultat 1/4 qu^exprime la notation
dzdxdjiir
THÉORÈME Sun l'oiidub des diffêremtiàtioks.
107. Le résidtat final de plusieurs différentiations succcssiv^es est toujours le même, quel que soit Vordre dans lequel on opère par rapport aux div^erscs variables.
Je dis d'abord que
du du
dx dr d^u d^u
' rr — ~- OU que = •
dy dx dy dx dxdy
SEPTIÈME LEÇOK. pS
En cflet, si Ton ne fait varier dans la fonction u que x Ci jr. on peut, en faisant abstraction des autres variables, représenter u f^LV J'[x,j'). Or on a
(l) /(r-+-/i,r)-/t*ir)=(~ -4-«Vi,
a étant une fonction de x,^ et 7i, qui tend vers zéro en même temps que A, quelle que soit la valeur qu'on donne
Changeons dans cette équation^ en ^ ~h Ar. Le premier membre devient
Dans le second, - - devient
dx
du
du d.r ,
dx djr
S tendant vers zéro avec /r; a prendra une nouvelle valeur
dos.
de la forme a -H a'A", a' ayant pour limite ~ » si A dimi-
nue jusqu'à zéro; cette nouvelle valeur devant encore devenir infiniment petite avec h quel que soit k^ il faut que a' s*annule aussi avec /i. On aura donc
\ du dx , ^ . I .
En retranchant la première équation de la seconde, puis divisant par /lA, il vient
hk
(3){ -^du dx
94 GOCRS DÀNAI.YSB.
On voit que le second membre, et par suite le premier, a
.du
. . '^di
pour limite — — » quand h et A décroissent indéfiniment.
Mais en faisant varier Aîkns /[x^j] d'abord^ et en-
du
suite X, on trouverait de même que -— ^ est encore la
limite du premier membre de l'équation (3) quand A et Ar tendent vers zéro.
Les deux limites doivent être égales; on a donc
du du
u — d — djc dy d^ u d^u
djr dx dy dx dxdy
Il est bon d'observer que le premier membre de l'équation (3) équivaut aux deux expressions [*)
^ et ■ ^—t
AjL'éSy ^x^y
le sorte qu'on a
Â^ Ax a = As A^ If ,
aussi bien que
dydxU —zdxdj.u.
108. Il résulte de là que si Ton avait à diiTérentier une fonction plusieurs fois de suite par rapport à diverses variables et dans un certain ordre, on pourrait, sans changer le résultat final, intervertir Tordre de deux différentiations consécutives. On démontrera ensuite qu'il est possible d*amener chaque différcritiation à tel rang qu*on voudra, et par suite d'intervenir à volonté Tordre
(") AjpU indique l'accroissement de u lorsque, j^ ne variant pas, x est changé en xh- Ax. A^ A^u e:>t Taccroissement de A^u lorsque, x restant le môme, on chan,'ïer en^ -f-A^. La notation d^u est quelquefois employée pour désigner la dérivée de u par rapport à x. Alors d^d^^u = d^^d^u)^
des différenlîations successives, de la même manière qu'on démontre en Arithmétique qu'un produit reste le même, quel que soit Tordre de ses facteurs, quand on a prouvé qu'on peut échanger deux facteurs consécutifs. Ou aura, par exemple,
dx dz dx d) dz dx dz dz dy dx dx dx dz*df dx*
