PU
dydx
dxdy
DIFFÉREfiTI ELLES TOTALES DE DIVERS ORDKES D^UNE FOlfCTIOM DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.
110. Soit 14 une fonction de trois variables indépendantes .r,j^, Zy et proposons-nous d'en calculer les différentielles totales diiy d^u^ d^Uy etc.
La différenliclle première est
du , du , du du—- — dx -\ — 7- dy -\ — — dz.
dx dy dz
On aura la différentielle totale de du ou la différentielle totale et du second ordre de u, en prenant la diffé-
96 COURS d'ahaltsc.
rentielle totale de chaque terme de du^ ce qui donne, en
observant que - — 7- = -- — —» etc.,
■ djr dx djc dy
fi^u , d^u . d^u ,\ ^
-— - dx -h - — — dr -h - — T dz ] dx d.v^ dxdy dxdz j
- — - dx -+- ---- dr -h - — - dz J dy \dxdy dy^ ^ iiydz ) "^
Pu d^u . d^u
^\dITz'''^-^^'''-^ •^*)'"'
ou
d^tt , , d^ii , ^ d^ Il , ^ d*u , .
d'U= -- — «Le* -h - — dy*-i dz* H- tï - — -- €ixdy
dx^ dy^ -^ dz^ dxdy '^
-h 2 -- — - dxdz -^1 - — 7- dydz.
dxdz dydz
On voit que d'^u peut se former en élevant au carré la
différentielle première ~ dx-i- —dj-^—dz^ pourvu
qu'au numérateur de chaque terme du carré développé on remplace du} par d'^u. Avec cette convention, on écrit la formule symbolique
[du , du ^ dn \(«) d^ u =^ [ T dx -^ -r- dy -\- —- dz] • \dx «T dz J
On aura de même en général
i du . du , du , \ (")
Texposant entre parenthèses indiquant qu^il s^agit d^unc formule symbolique, c^est-à-dire d'une expression dans laquelle il faudra remplacer du^ par d^u après le développement.
On démontre la généralité de cette formule en prouvant que, si elle est vraie pour un certain indice /i, elle est encore vraie poiir Tindice 71 + 1 .
En effet, un terme quelconque du développement
SEPTIEME LEÇOir. 97
symbolique de d^u est de la forme
OU
et
i.2...y9><i.2...<7Xi-2...r Le terme correspondant de r/^u est
(a) A-- ; --dxPdyldz\
^ ' dxPdyldz"
On aura d"^^u en prenant la différentielle totale de chaque terme de J"i/. Or la différentielle totale du terme ( 2 ) peut s'obtenir en multipliant sa valeur symbolique (i) par Texpression
/ov du , il a , du ,
pourvu qu'après le développement du produit on change rfa"+* en d'"^^u. Donc la différentielle totale de d"i/ ou d'*^^u s'obtiendra en multipliant par l'expression (3) la valeur symbolique de d^u qui, par hypothèse, est la puissance n*^"" de la même expression. On aura doue aussi la formule symbolique
{du ^ du - du , \(«+«) \dx djr dz )
DÉRIVÉES PARTIELLES DES FOlfCTIOKS IMPLICITE:»*
m . Une équation y (j:, j^) = o entre deux variables x eijr donne, comme on l'a vu,
, . df^dfdy
f«^ dx'^Tjdi^''^
Stcrm. — An, y I. 7
gS COURS D Alf ALTSE.
d'où
tir djc
de~~~ d~f
On peut exprimer les dérivées suivantes --^; » eic.,
parles dérivées partielles de divers ordres Aef[x^j\^ car en différeniiant par rapport à xl équation (a), lix étant regardée comme constanle, on trouve
/û^ ^\f 'f^f ^r d^f fdyy df dw
^^' tU^ dxdf dx dj^ \dx) dj dx* '
ou l on lire — — •
En différeniiant de nouveau, on obtiendra successivement -r - •> -, - 1 • • • •
dx^ ox* 112. Si Ton a une seule équalion entre trois variables
(i) f[^,Jy^] — Oy
deux quelconques d'entre elles x eiy sont indépendantes, et la troisième z est une fonction déterminée de celles-ci. On trouve les dérivées successives de z de la manière suivante.
En différeniiant Téquation (i) par rapport à x, dont z est une fonction, on a
df df dz (^) dx-^dz'dx^""^
d'où l'on tire -r' On a de même
dx
àf df dz
dz équation qui donne la valeur dey--
SEPTIÈME LEÇON. gg
En dirrérentiant l'équation (a) par rapport à x, on aura
d^f dy dz d^ fdzY df dH
dx^ dxdz dx dz^ \^^l ^^ ^^^^ '
df « Il • Cl z
ou 1 ou lire -r- •
dx^ •En différen liant l'équation (2) par rapport à y ou l'équation (3) par rapport à x, on trouve également
d'f d'/ dz //»/ dz d^ dz dz df dH
dxdy ilydz dx dxdz dy dz^ dx dy dz dxdy
d^z d'où l'on déduira - — j-*
dxdy
Enfin, en différentiant Téquation (3) par rapport kj-^
oa aura
€/»/ d'f dz d^fdzY df d^z
dj' dydz dy dz^ \dy] dz dy' '
dH
équation qui fera connaître —• On trouverait de même d'z dH
dx» dx^dy
ii3. Par exemple, Téquation de la sphère
jpï | jr2 ^ ^7 — a'=^0
donne
dz
dz dy
/dz"^ [dx,
\ dH
dz
\' dH
=zo,
dz dz dx dy
dH dxdy "
= OJ
d'où
Ton tire
dz __ dx
dz
dH dx*
-h z» dH ^ * dy^
dH iixdy
lOO COURS D ANALYSE.
EXERaCES.
I JC^ __ *"^ jr t/o
i . tt ~ arc sin * / —. — --- j du = - (jrdv — xdy),
