ÉLIMINATION DES CONSTANTES

114. Étant donnée une équation entre deux variables rr, y et une constante arbitraire C, on a vu (n" 83) que si l'on élimine C entre l'équation donnée et celle qu'on en déduit en difTérentiant par rapport à :r, on obtient

une équation différentielle enlre x^ y ^^ J ' Cette opération peut se généraliser. Soient n équations de la forme

(i) /(^> y^ ^' •••>'> Cl, Cs, . . ., G») = o,

eiïtre n -\- i variables x^ y^ z ^ et /i constantes

arbitraires: on peut regarder l'une des variables, x par exemple, comme indépendante, et j', z^ . . ., ^ comme des fonctions de x : la forme de ces fonctions change avec les valeurs attribuées aux arbitraires G| , Co . . . , C«, et il y a Heu de chercher n équations débarrassées d'arbitraires et pouvant remplacer les équations (i). A cet effet, je différentie chacune de ces équations par rapport à jr, ce qui me donne n équations de la forme

dx dy dx dt dx *

si Ton élimine C,, Co . . . , C/i entre ces équations et les équations données, on obtiendra n nouvelles équations

I02 COURS D AnALTSE.

de la forme

qui sont des conséquences des équations données et forment un système de n équations différentielles simultanées du premier ordre.

Si les équations (i) renfermaient n-\-p constantes arbitraires, on pourrait encore éliminer ces paramètres et obtenir un système de n équations qui devraient être satisfaites pour toutes les valeurs Ae x, y^ z^ . . . , / qui satisfont aux équations données ; mais il faut alors difl^érenlier chacune de celles-ci un nombre k de fois suffisant pour que nk soit au moins égal à/>, et les équations résultant de l'élimination contiennent des dérivées de l'ordre A*. Soit, en particulier, Téqualion

(3) /(^,r- Cl» Cî. .. .,C;„)^o;

on peut éliminer les m arbitraires C|, Co . • • , Cm entre IVquation donrée et celles qu'on en déduit en la diff*érentiant m fois de suite par rapport à j;; on arrive à une équation difl'érentielle du m*'™* ordre, qui est identiquement vérifiée par toutes les valeurs de y qui satisfont à l'équation (3).