Considérons maintenant l'équation

(4) A^^y^ -», Cl, Go^^o,

qui renferme deux paramètres arbitraires C^ et C2 : elle détermine z en fonction de x et Ae y^ que nous devrons regarder comme deux variables indépendantes. Nous pourrons encore éliminer C^ et Ca à l'aide de deux, difl^érentiations : nous poserons, suivant l'usage,

dz ^^

Difiiérentions tour à tour l'équation (4) par rappoirt

HUITIÈME LEÇON. Io3

'd X Cl par rapport à y : nous aurons

l^éliminalion de G^ et Go entre ces équations et l'équation (4) donne (5) F(a:,7, z,p, y)r^o,

c'est une équation aux dérivées partielles du premier ordre.

On pourrait, par le même procédé, éliminer un plus grand nombre d'arbitraires d'une ou plusieurs équations renfermant plusieurs variables indépendantes, mais il convient de dire qu'on obtiendrait des résultats essentiellement différents de ceux du n® 114. On démontre, dans le Galcul intégral, que les systèmes d'équations (i) et (a), par exemple, sont équivalents, mais il n'en est plus de même pour un système d'équations à plusieurs variables indépendantes et celui qu'on en déduit par l'élimination des constantes arbitraires. Bornons-nous à constater le fait sur un exemple : soit l'équation

on en déduit, en différentiant par rapport à ^ et à jK)

l'élimination de G| et G2 donne

(5 bis) z —. px — qy\

or, on vérifie que cette équation est satisfaite si l'on donne

à >s la valeur — > qui ne satisfait pas à l'équation (4 bis)\

celle-ci est donc moins générale que l'équation (5 bis).